前言：求解最大公约数从高中一直到现在，始终是数学与程序设计的经典。现在，让我们看看GCD的四种解法
定义?
约数/因数（Divisor）： 整数b除以整数a(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说b能被a整除，或a能整除b。即：定义正整数a、b,有 b mod a=0,则称a为b的约数
倍数（multiple）：一个整数能够被另一个整数整除，那么这个整数就是另一整数的倍数。即：定义正整数a,b，有b mod a=0,则称b为a的倍数
最大公约数【Greatest Common Divisor(GCD)】：也称最大公因数，最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。
a,b的最大公约数记为(a,b);
a,b,c的最大公约数记为(a,b,c)
最小公倍数【Least Common Multiple】：指两个或多个整数公有倍数中除零外最小的一个
a,b的最大公约数记为[a,b];
a,b,c的最大公约数记为[a,b,c]
问题描述?
给你两个正整数a、b,求a、b的最大公约数和最小公倍数，设已知a≧b
💥补充：[a,b]=a × b ÷ (a,b)
所以，我们只要求出a,b的最大公约数，最大公倍数便可直接求出
???????????????🛫🛫🛫🛫🛫🛫🛫🛫飞行分割线
1：朴素枚举法?
要求a、b的最大公约数，我们可以从大到小枚举a的约数，然后再判断它是不是b的约数，不断枚举，直到找到满足条件的最大公约数
[1]朴素枚举C/C++代码实现如下🌀
int gcd(int a,int b){
int mi=min(a,b);
int mx=max(a,b);
for(int i=mi;i>=2;i--){ //最好从两数中的较小者
if(mi%i==0&&mx%i==0) //开始枚举,以减少不必要的计算
return i;
}
return 1;
}
[2]朴素枚举法：流程图😈：
注：如果题目没给a、b的大小关系，加条补充
这个算法只经历一次循环，时间复杂度为O(n),貌似还可以，但有人给了我们更优的算法！他们是————
?🔑🔑🔑🔑🔑🔑🔑🔑🔑🔑🔑🔑🔑🔑🔑🔑解题分割线
2：欧几里得辗转相除法——《几何原本》?
[1]辗转相除法公式：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
实现补充：非零数n与0的最大公约数永远为n
证明如下——
记a为两数中的更大数，b为较小数
1.首先，当b≠0时，记a=kb+r （a,b,k,r均为正整数，且r=a mod b）
2.假设d是a,b的一个公约数，记作d|a,d|b，即a和b都可以被d整除。
而r = a - kb，两边同时除以d，r/d=a/d-kb/d，由等式右边可知m=r/d为整数，因此d|r
3.因此d也是b,a mod b的公约数。
4.因(a,b)和(b,a mod b)的公约数相等，则其最大公约数也相等，得证gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
示例：
假如需要求 2022 和 507两个正整数的最大公约数,用欧几里得算法，是这样进行的：
2022/507=3 余501
507/501=1 余6
501/6=83 余3
6/3=2 余0
终止：
3和0的最大公约数为3，即2022和507的最大公约数为3
以除数和余数反复做除法运算，当余数为 0 时，取当前算式除数为最大公约数，所以就得出了 2022和 507 的最大公约数 3。
💥对比一下朴素枚举的504步，这里我们只用了4步！
[2]我们可以将辗转相除法表示成如下递归式—— [^1]
[3]这样就很容易：C/C++递归代码实现如下🌀
int gcd(int a, int b) {
return !b ? a : gcd(b, a % b);
}
- 这个!是取非的意思，当b为0，!b为真；
- %是取模的意思，对应数学的mod
- 辗转相除法的时间复杂度为O(log2 n)
[4]：next:C/C++非递归代码实现如下🌀
int gcd(int a,int b){
int tmp;
a=max(a,b);
b=min(a,b);//题目已知a为较大数，这里再强调一下
while(b!=0){
tmp=a%b;
a=b;
b=tmp;
}
return a;
}
[5]辗转相除法：流程图😈：
10100001000111000101001000101000100111111**【01分割线】**
3：中国古代：更相减损术——《九章算术》?
[1]什么是更相减损法
原文：
可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。
更相减损术，即：
- 任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数
如果是，则都用2约简；若不是，则进行第二步 - 用较大数减较小数，接着把所得的差与较小数比较，继续以大数减小数
重复第二步，直到所得的差与减数相等 - 将第二步最终结果乘上第一步所约去的2，即为这两个整数的最大公约数
转化为公式：
gcd(a,b)=gcd(b,a-b),a>b
gcd(a,b)=gcd(a,b-a),a<b
gcd(a,b)=a, a=b
证明如下——
设gcd(x,y)=d，则满足x=k1* d，y=k2* d，易得k1与k2互质。
情况1：x=y。显然，gcd(x,y)=x=gcd(x,0)=gcd(x,y-x)。
情况2：设x<y
用反证法。
假设k1,(k2 - k1)不互质，
令gcb(k1,k2-k1) = m(m为正整数且m>1);
k1 = m* a,k2 - k1 = m* b
k2 = (a+b)m
即k1,k2有公约数m，与k1,k2互质矛盾
所以假设不成立
即k1,(k2 - k1)互质
所以gcb（x,x-y) = d = gcb(x,y)
综上，gcd(x,y)=gcd(x,y-x)。
命题得证.
补充：若两数无公约数，则称这两数互质
[2]you递归式推得：C/C++递归代码实现如下🌀
int gcd(int a,int b){
if(a%2==0&&b%2==0)return 2*gcd(a/2,b/2);
if(a==b)return a;
else if(a>b)return gcd(b,a-b);
else if(a<b)return gcd(a,b-a);
}
[3]更相减损术next：非递归代码实现如下🌀
int gcd(int a,int b){
int cnt=0;
while(a%2==0&&b%2==0){
a/=2;
b/=2;
cnt++;
}
while(a!=b){
if(a>b)a-=b;
else b-=a;
}
for(int i=0;i<cnt;i++)a*=2;
return a;
}
[4]更相减损数：流程图😈：
4.J.stein的stein算法
[1]stein算法【探秘】《
Stein算法只有整数的移位和加减法，很好地弥补了辗转相除法
在大质数处理上的缺陷，是对更相减损术
的进一步大补充
递推式：
1 . gcd(a,b)=2*gcd(a/2,b/2), a mod 2=0且b mod 2=0时
2. gcd(a,b)=gcd(a/2,b), a mod 2=0且b mod 2≠0时
3. gcd(a,b)=gcd(a,b/2), a mod 2≠0且b mod 2=0时
接着：就是更相减损数
gcd(a,b)=gcd(b,a-b),a>b
gcd(a,b)=gcd(a,b-a),a<b
gcd(a,b)=a, a=b
1、可以发现，stein算法在更相减损数前置的判断过程中进一步做了简化。
2、它的思路也很简单，在更相减损术的判断过程中，如果其中一个为奇数，另一个为偶数，那么它们绝对不含有公约数2??，因此我们可以将那个偶数连除以2??，直到为其奇数。
3、这样我们在后面的【更相减损】中的计算就大大简化了
[2]所以：stein递归代码实现如下🌀
int gcd(int a,int b){
if(a<b){
a^=b;
b^=a;
a^=b;//保证较大数在形参列表的最前面，防止减出负数
}
if(a==b)return a;
if((!(a&1))&&(!(b&1)))return gcd(a>>1,b>>1)<<1;
else if((!(a&1))&&(b&1))return gcd(a>>1,b);
else if((a&1)&&(!(b&1)))return gcd(a,b>>1);
else return gcd(a-b,b);
}
[3]关于位运算方面的补充：
- 对正整数n而言,n>>1等价n/2
- n<<1等价n*2
- n&1等价n%2
- 这种操作叫位运算，比*/%快很多，
- 详细可见👇
《位运算详解》
stein算法：C/C++非递归代码实现如下🌀
int gcd(int a,int b){
int k=1;
while((!(a&1))&&(!(b&1))){
k<<=1; //用k记录全部公因子2的乘积 ；
a>>=1;
b>>=1;
}
while(!(a&1))a>>=1;
while(!(b&1))b>>=1;
if(a<b) a^=b,b^=a,a^=b; //交换，使a为较大数；
while(a!=b){
a-=b;
if(a<b){
a^=b;
b^=a;
a^=b; //交换，使a为较大数；
}
}
return k*a;
}
总结?
GCD问题和LCM问题，是最最经典的数论问题，不仅要熟用模板，更要熟练其背后的推导、证明过程，这对以后的算法学习大有帮助/
终于把GCD问题解透了🐉！
🐱?🏍🔑真是不容易。
算法学习之路总是布满了曲折，有时一个简单的问题也能困扰人好久，但是那份成长与突破的喜悦是不言而喻的。💖
这就是解题的奥妙了。