[数据结构与算法]改进的PID算法

位置式PID算法

??位置式$PID$算法是一种比较直观的的$PID$算法，如系统框图中所示，$in$表示设定值，$error$表示差值，$u$表示控制器输出值，$out$表示被控量。算法表达式如下：

增量式PID算法

??增量式$PID$算法不比位置式更直观，当执行机构需要控制量的增量时，适合采用增量式$PID$算法，比如步进电机控制。算法表达式如下：

积分分离PID算法

??$PID$算法中,积分可消除稳态误差，提高控制精度，在系统启动或设定值大幅改变时，被控量与设定值之间会产生较大的偏差，造成过大的积分积累，甚至使控制量超过执行机构允许最大动作范围对应的极限控制量，引起系统过大的超调量，从而振荡，为避免这些不利的情况出现，可在被控量与设定值之间有较大偏差时，取消积分作用，避免超调量增大；当被控量接近设定值时，引入积分控制，消除稳态误差，提高控制进度。
??设被控量与设定值之间的偏差阈值为$X>0$，该值人为设定，即

算法表达式如下：

梯形积分PID算法

??在$PID$算法中，积分项的作用就是为了消除稳态误差，故而提高积分项的运算精度能更好的提高控制精度。在单片机中，对于积分运算通常使用累加的形式，也就是矩形积分，即

上述式子在程序中经常这样使用，但在$PID$算法中，并不是这样，这不得不从原始的$PID$算法说起，其表达式如下所示。

将其离散化，令$t=kT$，得

也就是说，从严格意义来讲，积分项应该为

为方便编程计算把系数项全部整合在一块，称之为积分系数，所以就把$T$省略了。积分从图像上来看，就是求面积。因此在单片机中计算积分的思路就是把图形划分为宽度为$T$的$n$个等份，然后在每个等份中自图形曲线以下画出一个最大矩形，然后将所有矩形面积相加便可近似为求积分的过程。$T$越小矩形面积和越接近于积分运算，但在实际工程中，$T$不可能太小，因为$T$实际上就是采样时间，也是$PID$的计算周期，$T$过小会加大单片机的负担。这样的计算方式很直观，但计算的精度较低，误差大。假设偏差$error$在某段时间服从函数$f(error)=?a?error+b$,如下所示

那么积分运算就是指

很明显，这使得每个矩形上面的三角形都未参与计算，使得积分运算精度大大降低，为避免出现过大的误差或者进一步提高运算精度，引入梯形积分的概念，就是把矩形和三角形加在一起，也就是梯形的面积，即

故梯形积分的$PID$的表达式为

??当偏差$error$不服从线性关系，或者是其他一些曲线，则不会向示例中那般毫无误差，仍会有些许误差无法计算到，但同矩形积分相比，运算精度已经得到了很大的改善。

变速积分PID算法

??变速积分$PID$算法与积分分离$PID$算法本质上相同，都是为了减小系统超调，提高系统响应速度，但是积分分离$PID$算法较为粗暴，变速积分$PID$算法则是根据偏差$error$的大小来改变积分的速度，偏差越大，积分越慢，反之越快。即积分项的表达式为

$\beta$是关于偏差$error$的函数，即

其中$A,B$表示人为设定的阈值，则变速积分PID算法的表达式为

带滤波器的PID算法

??当系统中存在高频干扰时，会使得系统变得不稳定，另外，在$PID$算法中，微分项会将高频干扰放大，所以需要将高频干扰过滤掉，从而使系统稳定，故引入低通滤波器。假设该滤波器传递函数为

该滤波器的转折频率为20$Hz$，对如下系统

当干扰信号频率低于20$Hz$，设为10$Hz$，输出曲线如下

左图为带滤波器的输出响应，右图不带滤波器，可以看出此时两个系统输出很不稳定，波动都很大，再看看干扰信号频率大于20$Hz$时的情况，设为100$Hz$,输出曲线如下

很明显，此时带有滤波器的系统输出相比于之前10$Hz$干扰信号时的输出波动幅度要小很多，此时不带滤波器的系统输出已经受到剧烈干扰，带有滤波器的系统输出波动幅度更小。在加大干扰信号的频率，设为10$kHz$，输出曲线如下

此时带有滤波器的系统输出几乎已经没有了波动。
??在编程中使用带滤波器的$PID$算法时，需要对滤波器的传递函数进行$Z$变换并离散化。

基于前馈补偿的PID算法

??对于设定值变化的系统中，为提高系统的跟踪性能，需要加入前馈补偿。既然是提高系统的跟踪性能，那自然就是系统的输出越接近于甚至等于系统的输入，也就是闭环系统的传递函数为$1$。如下图所示


??假设有一个被控对象为

不加前馈补偿，如下

系统输入为正弦信号，输出图像如下

??黄线表示系统输入的信号曲线，蓝线表示系统输出曲线，可以看出，输出曲线不仅幅值较系统输入小，且滞后于系统输入，再来看看加入前馈补偿的效果，系统框图如下

输出曲线如下

此时只能看到一条曲线，因为输入曲线与输出曲线重合了，此时的跟踪效果较之前有了很大的提升。在编程中，使用前馈补偿的$PID$算法，在计算u_f时，可对$1/G(s)$进行$Z$变换并离散化。