[数据结构与算法]【动态规划】求路径

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题目：一个机器人在m×n大小的地图的左上角（起点）。

机器人每次可以向下或向右移动。机器人要到达地图的右下角（终点）。

可以有多少种不同的路径从起点走到终点？

备注：m和n小于等于100,并保证计算结果在int范围内

数据范围： 0<n,m <=100，保证计算结果在32位整型范围内

常规解法

分析思路：

从起点到终点的路径实际上可以分解为从起点到坐标（i，j）的路径，根据题意，只能向下移动或者向右移动，因此从起点到坐标（0，j）即第一行只有向右走一条路径，从起点到坐标（i，0）即第一列只有向下走一条路径，其余的坐标（i，j），可以被坐标（i-1，j）向下走一步到达，也可以被坐标（i，j-1）向右走一步到达，最后终点坐标（m-1，n-1）的值就是从起点走到终点的所有路径。

综上所述，状态四角度：

1. 状态定义F（i，j）：从（0，0）到坐标（i，j）的路径个数
2. 状态间的转移方程定义F（i，j）= F（i-1，j）+ F（i，j-1）
3. 状态的初始化 i == 0，F（0，j）= 1；j == 0，F（i，0）= 1
4. 返回结果F（m-1，n-1）

import java.util.*;
public class Solution {
    public int uniquePaths (int m, int n) {
        //定义count数组存放每个坐标的状态
        int[][] count = new int[m][n];
        //第0列的坐标的状态都为1
        for(int i = 0;i < m;i ++){
            count[i][0] = 1;
        }
        //第0行的坐标的状态都为1
        for(int j = 1;j < n;j ++){
            count[0][j] = 1;
        }
        //其余坐标的状态
        for(int i = 1;i < m;i ++){
            for(int j = 1;j < n;j ++){
                count[i][j] = count[i-1][j] + count[i][j-1];//转移状态
            }
        }
        return count[m-1][n-1];//返回状态数组的最后一个元素即终点坐标状态值
    }
}

时间复杂度：O（mn）

空间复杂度：O（mn）

数学解法

用数学公式的方法进行求解会提高时间和空间复杂度，但是也有缺点，那就是不容易第一时间想到。

在本题中，如果用整体的思路想，从起点走到终点，由于只能向下和向右走，就意味着一定会向下走m-1步，一定会向右走n-1步，这样才可以到达终点，这就意味着只需要将向下走的m-1和向右走的n-1步进行排列组合，我们一共走m+n-2步。

求组合公式

import java.util.*;
public class Solution {
    public int uniquePaths (int m, int n) {
        long ret = 1L;
        for (int x = n, y = 1; y < m; ++x, ++y) {
        //组合公式的循环求解
            ret = ret * x / y;
        }
        return (int)ret;
    }
}

时间复杂度：O（min（n,m））

空间复杂度：O（1）

和上面的动态规划的方法相比该方法空间复杂度低但是如果数据过大可能会溢出且不易想到
完！