[数据结构与算法]第8章 阻抗和导纳

1. 正弦交流电

周期电压和电流
如果电流或电压每经过一定时间T就重复变化一次，则此种电流 、电压称为周期性交流电流或电压。
正弦电压和电流
如果在电路中电源的大小与方向均随时间按正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。

1.1 正弦信号的三要素

瞬时值
$$i(t)=I_m\cos (wt+{\theta }_i)$$

（1）最大值
变量名称必须大写，下标加m.如$I_m,U_m$
（2）角频率
$$w=\frac{2\pi }{T}=2\pi f$$

（3）初相位
$t=0$ 时的相位，称为初相位或初相角。（$\pi \le \theta \le \pi$）
（可以理解为离O点最近的最高峰，当位于负轴时，θ > 0。反之，θ < 0 ）

题目[1]：求正弦信号的三要素

1.2 相位差

定义
两个同频率的正弦量的相位之差或初相位之差称为相位差
$$\theta ={\theta }_u?{\theta }_i$$

情况
① 当 θ > 0 时：u超前i，u比i先到达最大值
② 当 $\theta <0$时：u滞后i，i超前u$\theta$角

题目[2]：计算正弦量的相位差

注意
① 只有两个角频率w相同的正弦量才能计算相位差。
② 相位差的范围是：$?\pi \le \theta \le \pi$
③ 奇变偶不变，符号看象限
$$\begin{gathered} \sin (\theta +\pi /2)=\cos (\theta ),\sin (\theta ?\pi /2)=?\cos (\theta ) \\ \cos (\theta +\pi /2)=?\sin (\theta ),\cos (\theta ?\pi /2)=\sin (\theta ) \end{gathered}$$

1.3 周期性电流、电压的有效值

定义
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量平均效果工程上采用有效值来表示。有效值也称均方根值。
$$\begin{gathered} I=\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T{i}^2(t)dt} \\ U=\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T{u}^2(t)dt} \end{gathered}$$
区分有效值、最大值、瞬时值
（1）符号：有效值（I），最大值（$I_m$），瞬时值（i）
（2）用途：
① 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。
② 测量中，交流测量仪表指示的电压、电流一般为有效值。
③ 绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。

题目[3]：有效值最大值瞬时值的相互转换

2. 正弦量的向量表示

2.1 复数的表示形式

$$\{\begin{array}{l}A=|A|e^{j\theta }=|A|\angle \theta \\ A=|A|e^{j\theta }=|A|(\cos \theta +j\sin \theta )\end{array}$$

2.2 复数的常见运算

（1）加法运算
将向量模式$A\angle \theta$表示为$a+bj$模式

（2）乘法与除法运算：模长与角度的变化
$$\begin{gathered} A_1?A_2=|A_1||A_2|\angle ({\theta }_1+{\theta }_2) \\ \frac{A_1}{A_2}=\frac{|A_1|}{|A_2|}\angle ({\theta }_1?{\theta }_2) \end{gathered}$$

（3）旋转因子$e^{j\theta }$
复数A与旋转因子相乘，相当于A逆时针旋转一个角度

$$A?e^{j\theta }$$
几种常用的旋转因子
$$e^{j\theta }=?\begin{array}{l}j,\theta =\frac{\pi }{2}\\ ?j,\theta =?\frac{\pi }{2}\\ ?1,\theta =\pm \pi \end{array}$$

2.3 正弦量的相量表示

（1）正弦电流的相量表示
$$\{\begin{array}{l}i(t)=I_m\cos (wt+{\theta }_i)\\ e^{jwt}=\cos (wt)+j\sin (wt)\end{array}\to i(t)=Re[I_m{e}^{j(wt+\theta )}]=Re[I_m{e}^{j\theta }{e}^{jwt}]$$
定义${\dot{I}}_m=I_m?e^{j\theta }=I_m\angle \theta$是最大值相量 ，则：
$$\begin{gathered} i(t)=Re[\dot{I_m}{e}^{jwt}]=Re[\sqrt{2}\dot{I}{e}^{jwt}] \\ u(t)=Re[\dot{U_m}{e}^{jwt}]=Re[\sqrt{2}\dot{U}{e}^{jwt}] \\ \dot{I_m}=\sqrt{2}\dot{I},\dot{U_m}=\sqrt{2}\dot{U} \end{gathered}$$

（2）注意
① 相量不等于正弦信号，他们之间存在相互关系
$$\begin{gathered} i(t)\to \dot{I_m}{e}^{jwt} \\ i(t)=Re[\dot{I_m}{e}^{jwt}]=Re[\sqrt{2}\dot{I}{e}^{jwt}] \end{gathered}$$
② 微分规则
$$\frac{da(t)}{dt}?jw\dot{A}$$

题目[4]：根据正弦的相量表示获得瞬时表达

（1）相量转换为瞬时值
① ${\dot{I}}_m=I_m?e^{j\theta }=I_m\angle \theta$ ， 由相量可以获得正弦量的初相位与有效值（最大值）
② 根据公式计算$w=2\pi f=\frac{2\pi }{T}$
③ 将初相位、有效值、角频率带入公式：
$$i(t)=I_m\cos (wt+{\theta }_i)=\sqrt{2}I\cos (wt+{\theta }_i)$$
（2）瞬时值转换为相量

2.4 相量图

在复平面上用向量表示相量的图

$$\begin{gathered} i(t)=\sqrt{2}I\cos (wt+{\theta }_i)\to \dot{I}=I\angle {\theta }_i \\ u(t)=\sqrt{2}U\cos (wt+{\theta }_u)\to \dot{U}=U\angle {\theta }_u \end{gathered}$$

题目[5]：利用相量表示计算同频正弦量的加减

方法：
（1）将正弦量表示为相量表示：$u(t)?\dot{U}$
（2）将正弦量运算转化为相量运算
（3）运算结束后，将相量表示转化为正弦表示（参考题目[4]）

3. 元件和电路定理的相量表示

3.1 电阻元件VCR的相量形式

（1）时域形式
$$\begin{gathered} i(t)=\sqrt{2}I\cos (wt+{\theta }_i) \\ u(t)=\sqrt{2}IR\cos (wt+{\theta }_i) \end{gathered}$$

（2）相量形式
$$\begin{gathered} \dot{I}=I\angle {\theta }_i \\ \dot{U}=IR\angle {\theta }_i \\ \dot{U}=R\dot{I} \end{gathered}$$

理解：
① VCR相量表示：$\dot{U}=R\dot{I}$
② 相位关系：U, I的初相位相同${\theta }_u={\theta }_i$

（3）瞬时功率
瞬时功率以2w交变。始终大于0.
$$p_R=U_{R}I[1+\cos 2(wt+{\theta }_i)]$$

3.2 电感元件VCR的相量形式

（1）时域形式
$$\begin{gathered} i(t)=\sqrt{2}I\cos (wt+{\theta }_i) \\ {u}_L(t)=L\frac{di}{dt}=?\sqrt{2}LwI\sin (wt+{\theta }_i)=\sqrt{2}LwI\cos (wt+{\theta }_i+\frac{\pi }{2}) \end{gathered}$$

（2）相量形式
$$\begin{gathered} \dot{I}=I\angle {\theta }_i \\ \dot{U}=LwI\angle {\theta }_i+\frac{\pi }{2} \end{gathered}$$

理解：
① VCR相量表示：$\dot{U}=Lwj\dot{I}$
② 相位关系：电压U比电流I领先90°：${\theta }_u={\theta }_i+\frac{\pi }{2}$

（3）瞬时功率
瞬时功率以2w交变。始终大于0.
$$p_C=U_{R}I[1+\cos 2(wt+{\theta }_i)]$$

3.3 电感元件VCR的相量形式

（1）时域形式
$$\begin{gathered} u(t)=\sqrt{2}U\cos (wt+{\theta }_u) \\ i(t)=C\frac{du}{dt}=?\sqrt{2}CwI\sin (wt+{\theta }_u)=\sqrt{2}CwU\cos (wt+{\theta }_u+\frac{\pi }{2}) \end{gathered}$$

（2）相量形式
$$\begin{gathered} \dot{U}=U\angle {\theta }_u \\ \dot{I}=CwU\angle (\theta +\frac{\pi }{2}) \end{gathered}$$

理解
① VCR相量表示：$\dot{I}=Cwj\dot{U}\to \dot{U}=?j\frac{1}{Cw}\dot{I}$
② 相位关系：电流I比电压U领先90°：${\theta }_u={\theta }_i+\frac{\pi }{2}$

（3）瞬时功率
瞬时功率以2w交变。始终大于0.
$$p_L=U_m\sin (w+{\theta }_i)I_m\cos (wt+{\theta }_i)$$

题目[6]：利用VCR的相量表示计算交流电流、电压

4. 基尔霍夫定律的相量形式

在正弦稳态电路中，各支路电流都是同频率的正弦量，只是振幅和初相不同。
（1）KCL
对任一节点，各支路电流相量和恒为0
$$\sum _{k=1}^n{\dot{I}}_{km}=0$$

（2）KVL
对任一回路，所有支路电压相量和恒为0
$$\sum _{k=1}^n{\dot{U}}_{km}=0$$

问题[7]：KVL、KCL在正弦稳态电路中的应用

步骤
Step1： 将瞬时值用相量表达替代
Step2： 利用KVL, KCL的相量形式列方程
Step3： 将相量表示转化为瞬时表示

4. 阻抗和导纳模型

（1）阻抗
正弦交流电路中元件的电压相量与电流相量之比。
$$\begin{gathered} Z=\frac{{\dot{U}}_m}{{\dot{I}}_m}=\frac{\dot{U}}{\dot{I}}=\frac{U}{I}{e}^{j({\theta }_u?{\theta }_i)} \\ Z=|Z|\cos {?}_z+j|Z|\sin {?}_z=R+jX \end{gathered}$$

电阻
$$R=|Z|\cos {?}_z$$

电抗
$$X=|Z|\sin {?}_z$$

阻抗的模： 电压有效值 / 电流有效值
$$|Z|=\frac{U}{I}$$

阻抗角： 电压初相位 - 电流初相位
$${?}_z={\theta }_u?{\theta }_i$$

4.1 三种基本元件的阻抗

① 电阻： $Z=\frac{U}{I}{e}^{j({\theta }_u?{\theta }_i)}=R$
② 电容： $Z=\frac{\dot{U}}{\dot{I}}=\frac{1}{jCw}=?j\frac{1}{Cw}=j{X}_C$，其中$X_C=?\frac{1}{Cw}$
③ 电感： $Z=\frac{\dot{U}}{\dot{I}}=jLw=j{X}_L$，其中$X_L=Lw$

4.2 RLC串联电路

借助阻抗，可以获得如下VCR公式：
$$\begin{gathered} \dot{U}=(Z_R+Z_L+Z_C)\dot{I}=Z\dot{I} \\ Z=Z_R+Z_L+Z_C=R+j(Lw?\frac{1}{Cw})=R+jX \end{gathered}$$
理解：
① 当$wL=\frac{1}{Cw},X=0$时：电路为电阻性，电压电流同向
② 当$wL>\frac{1}{Cw},X>0$时：电路为感性，电压领先电流
③ 当$wL<\frac{1}{Cw},X<0$时：电路为容性，电流领先电压

（2）导纳
阻抗的倒数。记为Y
$$\begin{gathered} Y=\frac{1}{Z}=\frac{\dot{I}}{\dot{U}}=\frac{I}{U}{e}^{({\theta }_i?{\theta }_u)} \\ Y=|Y|\cos {?}_y+j|Y|\sin {?}_y=G+jB \end{gathered}$$

电导
$$G=|Y|\cos {?}_y$$

电纳
$$B=|Y|\sin {?}_y$$

导纳的模
$$|Y|=\frac{I}{U}$$

导纳角
$${?}_y={\theta }_i?{\theta }_u$$

4.3 三种基本元件的导纳

① 电阻： $Y=\frac{I}{U}{e}^{j({\theta }_i?{\theta }_u)}=\frac{1}{R}$
② 电容： $Y=\frac{\dot{I}}{\dot{U}}=jCw=jB$，其中$B_C=Cw$
③ 电感： $Y=\frac{\dot{I}}{\dot{U}}=?j\frac{1}{Lw}$，其中$B_L=?\frac{1}{Lw}$

4.4 RLC并联电路

借助导纳，可以获得如下VCR公式：
$$\begin{gathered} \dot{I}=(Y_R+Y_L+Y_C)\dot{U}=Y\dot{U} \\ Y=Y_R+Y_L+Y_C=\frac{1}{R}+j(Cw?\frac{1}{Lw}) \end{gathered}$$

理解：
① 当$Cw=\frac{1}{Lw},Y=0$时：电路为电阻性，电压电流同向
② 当$Cw>\frac{1}{Lw},Y>0$时：电路为容性，电流领先电压
③ 当$Cw<\frac{1}{Lw},Y<0$时：电路为容性，电压领先电流

4.5 阻抗和导纳的串、并联

（1）串联

等效阻抗： $Z=Z_1+Z_2=(R_1+R_2)+j(X_1+X_2)$
等效导纳： $Y=\frac{Y_1{Y}_2}{Y_1+Y_2}$
分压公式： ${\dot{U}}_i=\frac{Z_i}{Z}\dot{U}$

（2）并联

等效阻抗： $Z=\frac{Z_1{Z}_2}{Z_1+Z_2}$
等效导纳： $Y=Y_1+Y_2$
分流公式： ${\dot{I}}_i=\frac{Y_i}{Y}\dot{I}$

5. 正弦稳态电路相量模型

把时域模型中的电源元件用相量模型代替，无源元件用阻抗或导纳代替，电流、电压用相量表示(其参考方向与原电路相同)，这样得到的电路模型称为相量模型

5.1 欧姆定律的相量形式

$$\dot{U}=\dot{I}Z,\dot{I}=Y\dot{U}$$

5.2 复阻抗和复导纳的等效互换

$Z=|Z|\angle {?}_z,Y=|Y|\angle {?}_z$
（1）阻抗 --> 导纳
$$Y=\frac{1}{Z}=\frac{R?jX}{R^2+X^2}=G+jB\to \{\begin{array}{l}G=\frac{R}{R^2+X^2}\\ B=\frac{?X}{R^2+X^2}\end{array}$$

（2）导纳 --> 阻抗
$$Z=\frac{1}{Y}=\frac{G?jB}{G^2+B^2}=R+jX\to \{\begin{array}{l}R=\frac{G}{G^2+B^2}\\ B=\frac{?B}{G^2+B^2}\end{array}$$

问题[8]：求串（并）联电路的等效并（串）联电路

步骤：
Step1： 求出等效前电路的阻抗（串联）、导纳（并联）
Step2： 求导获得等效电路对应的阻抗或导纳
Step3： 列出等效电路对应公式，从而计算求得等效的阻值、电容或电感系数

5.3 相量图解法

可根据电路，直接定性绘出相量图，再根据图形利用几何、三角等关系求得所需答案