导函数等价写法
三种导函数等价的写法
（1）y=f(x)在点x0处可导
（2）y=f(x)在点x0导数存在
（3）y’=f’(x)=A（A为有限数）
导函数为0的点是与函数的水平切线的交点
方程
切线方程
y
?
y
0
=
f
′
(
x
0
)
(
x
?
x
0
)
y-y_0=f'(x_0)(x - x_0)
y?y0?=f′(x0?)(x?x0?)
法线方程
y
?
y
0
=
?
1
f
′
(
x
0
)
(
x
?
x
0
)
,
f
′
(
x
)
≠
0
y-y_0=-\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0), f'(x) \neq 0
y?y0?=?f′(x0?)1?(x?x0?),f′(x)?=0
高阶导
f
(
n
)
(
x
0
)
=
lim
?
Δ
x
→
0
f
(
n
?
1
)
(
x
0
+
Δ
x
)
?
f
(
n
?
1
)
(
Δ
x
)
Δ
x
f^{(n)}(x_0)=\lim_{\Delta x \to0} \frac{f^{(n-1)}(x_0+\Delta x)-f^{(n-1)}(\Delta x)}{\Delta x}
f(n)(x0?)=Δx→0lim?Δxf(n?1)(x0?+Δx)?f(n?1)(Δx)?
可微的判别
（1）写增量
Δ
y
=
f
(
x
0
?
Δ
x
)
?
f
(
x
0
)
\Delta y=f(x_0- \Delta x) - f(x_0)
Δy=f(x0??Δx)?f(x0?)
（2）写线性增量
A
Δ
x
=
f
′
(
x
0
)
Δ
x
A \Delta x = f'(x_0) \Delta x
AΔx=f′(x0?)Δx
（3）做极限
lim
?
Δ
x
→
0
Δ
y
?
A
Δ
x
Δ
x
\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y-A \Delta x}{\Delta x}
Δx→0lim?ΔxΔy?AΔx?
如果极限为0说明增量和线性增量只差一个高阶无穷小，可以忽略不记，函数可微。否则不可微
可微和可导互为充要条件，可微即可导，可导即可微
驻点和极值点的区别
驻点是一阶导为0的点，不关心函数变化；驻点不一定是极值点；极值点不一定是驻点。
如：
y
=
x
3
,
x
=
0
y=x^3, x=0
y=x3,x=0此时是驻点而不是极值点
再如：
y
=
∣
x
∣
,
x
=
0
y=|x|, x=0
y=∣x∣,x=0此时是极值点而不是驻点（该点不可导）
反函数的导数
d
x
d
y
=
1
d
y
d
x
\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}
dydx?=dxdy?1?
高阶求导
求导公式
[
u
±
v
]
(
n
)
=
u
(
n
)
±
v
(
n
)
[u\pm v]^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}
[u±v](n)=u(n)±v(n)
(
u
v
)
n
=
u
(
n
)
v
+
C
n
1
n
(
n
?
1
)
v
′
+
C
n
2
n
(
n
?
2
)
v
′
′
…
+
C
n
n
?
1
u
′
v
(
n
?
1
)
+
u
v
(
n
)
=
∑
k
=
0
n
C
n
k
u
(
n
?
k
)
v
(
k
)
(uv)^{n}=u^{(n)}v+C_n^1n^{(n-1)}v'+C_n^2n^{(n-2)}v''…+C_n^{n-1}u'v^{(n-1)}+uv^{(n)} \\ =\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}
(uv)n=u(n)v+Cn1?n(n?1)v′+Cn2?n(n?2)v′′…+Cnn?1?u′v(n?1)+uv(n)=k=0∑n?Cnk?u(n?k)v(k)
泰勒公式
任何一个无穷阶可导的函数（在收敛的情况下）都可以写成
y
=
f
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
f
n
(
x
0
)
n
!
(
x
?
x
0
)
n
y=f(x)=\sum_{n=0}^ {\infty} \frac{f^{{n}}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
y=f(x)=n=0∑∞?n!fn(x0?)?(x?x0?)n或者
y
=
f
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
n
!
x
n
y=f(x)=\sum_{n=0}^ \infty \frac{f^{(n)}}{n!}x^n
y=f(x)=n=0∑∞?n!f(n)?xn
常见幂级数
e
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
…
+
x
n
n
!
+
…
,
?
∞
<
x
<
+
∞
e^x=\sum_{n=0}^ \infty \frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+…+\frac{x^n}{n!}+…,-\infty<x<+\infty
ex=n=0∑∞?n!xn?=1+x+2!x2?+…+n!xn?+…,?∞<x<+∞
1
1
+
x
=
∑
n
=
0
∞
(
?
1
)
n
x
n
=
1
?
x
+
x
2
?
x
3
+
…
+
(
?
1
)
n
x
n
+
…
,
?
1
<
x
<
1
\frac1{1+x}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n=1-x+x^2-x^3+…+(-1)^nx^n+…,-1<x<1
1+x1?=n=0∑∞?(?1)nxn=1?x+x2?x3+…+(?1)nxn+…,?1<x<1
1
1
?
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
=
1
+
x
+
x
2
+
…
+
x
n
+
…
,
?
1
<
x
<
1
\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+…+x^n+…,-1<x<1
1?x1?=n=0∑∞?xn=1+x+x2+…+xn+…,?1<x<1
l
n
(
1
+
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
?
1
)
n
?
1
x
n
n
=
x
?
x
2
2
+
x
3
3
+
…
+
x
n
n
+
…
，
?
1
<
x
<
1
ln(1+x)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^n}n=x- \frac {x^2}{2}+\frac{x^3}3+…+\frac {x^n} n+…， -1<x<1
ln(1+x)=n=0∑∞?(?1)n?1nxn?=x?2x2?+3x3?+…+nxn?+…，?1<x<1
s
i
n
x
=
∑
n
=
0
∞
(
?
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
=
x
?
x
3
3
!
+
x
5
5
!
?
x
7
7
!
+
…
+
(
?
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
+
…
,
?
∞
<
x
<
+
∞
sinx=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x- \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+…+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+…,-\infty<x<+\infty
sinx=n=0∑∞?(?1)n(2n+1)!x2n+1?=x?3!x3?+5!x5??7!x7?+…+(?1)n(2n+1)!x2n+1?+…,?∞<x<+∞
c
o
s
x
=
∑
n
=
0
∞
(
?
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
=
1
?
x
2
2
!
+
x
4
4
!
?
x
6
6
!
+
…
+
(
?
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
+
…
,
?
∞
<
x
<
+
∞
cosx=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+…+(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}+…,-\infty<x<+\infty
cosx=n=0∑∞?(?1)n(2n)!x2n?=1?2!x2?+4!x4??6!x6?+…+(?1)n(2n)!x2n?+…,?∞<x<+∞
(
1
+
x
)
α
=
1
+
α
x
+
α
(
α
?
1
)
2
!
x
2
+
…
+
α
(
α
?
1
)
…
(
α
?
n
?
1
)
n
!
x
n
+
…
，
{
x
∈
(
?
1
,
1
)
，
当
α
≤
1
x
∈
(
?
1
,
1
]
,
当
?
1
<
α
<
0
x
∈
[
?
1
,
1
]
,
当
α
>
0
(1+x)^\alpha =1+\alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+…+\frac{\alpha(\alpha-1)…(\alpha-n-1)}{n!}x^n+…，\left\{\begin{matrix}x\in (-1,1)，当\alpha \leq 1 \\ x \in (-1, 1], 当-1<\alpha<0 \\ x \in [-1, 1], 当\alpha >0 \end{matrix}\right.
(1+x)α=1+αx+2!α(α?1)?x2+…+n!α(α?1)…(α?n?1)?xn+…，????x∈(?1,1)，当α≤1x∈(?1,1],当?1<α<0x∈[?1,1],当α>0?
根据函数展开式的唯一性比较公式中的系数就可以获得n阶导
一些容易被忘记的求导公式
(
t
a
n
x
)
′
=
s
e
c
2
x
(tanx)'=sec^2x
(tanx)′=sec2x
(
c
o
t
x
)
′
?
c
s
c
2
x
(cotx)'-csc^2x
(cotx)′?csc2x
(
s
e
c
x
)
′
=
s
e
c
x
t
a
n
x
(secx)'=secxtanx
(secx)′=secxtanx
(
c
s
c
x
)
′
=
?
c
s
c
x
c
o
t
x
(cscx)'=-cscxcotx
(cscx)′=?cscxcotx
[
l
n
(
x
+
x
2
+
1
)
]
′
=
1
x
2
+
1
[ln(x+\sqrt{x^2+1})]'=\frac 1{\sqrt{x^2+1}}
[ln(x+x2+1
?)]′=x2+1
?1?
[
l
n
(
x
+
x
2
?
1
)
]
′
=
1
x
2
?
1
[ln(x+\sqrt{x^2-1})]'=\frac 1{\sqrt{x^2-1}}
[ln(x+x2?1
?)]′=x2?1
?1?
|