[数据结构与算法]Day21--系统模型转换及连接

MATLAB是一个很强大的软件，在自动控制领域也是使用非常广泛，本系列博文将基于控制系统仿真进行，参考书籍《MATLAB/Simulink与控制系统仿真》，该系列博文与笔者的自动控制理论(考研篇)互为补充，详细理论知识点请各位移步自动控制理论(考研篇)系列博客。

21.系统模型转换及连接

21.1 模型转换

线性时不变系统(LTI)模型包括：传递函数(Transfer Function)模型，零极点增益(ZPK)模型，状态空间(State Space)模型；

21.2 实战

实战：已知某系统零极点模型为：
$$G(s)=\frac{6(s+2)}{(s+1)(s+3)(s+5)}$$
求其传递函数模型和状态空间模型；

解：

% model_transfer.m文件

z = [-2];p = [-1,-3,-5];k = 6;      % 系统零极点向量及增益
[num,den] = zp2tf(z,p,k);           % 零极点模型转换成传递函数模型
[A,B,C,D] = zp2ss(z,p,k);           % 零极点模型转换成状态空间模型
g_zpk = zpk(z,p,k)                  % 建立零极点模型
g_tf = tf(num,den)                  % 建立传递函数模型
g_ss = ss(A,B,C,D)                  % 建立状态空间模型

% 结果：
g_zpk = 
       6 (s+2)
  -----------------
  (s+1) (s+3) (s+5)
g_tf =
         6 s + 12
  -----------------------
  s^3 + 9 s^2 + 23 s + 15
g_ss =
  A = 
           x1      x2      x3
   x1      -1       0       0
   x2       1      -8  -3.873
   x3       0   3.873       0
  B = 
       u1
   x1   1
   x2   1
   x3   0
  C = 
          x1     x2     x3
   y1      0      0  1.549 
  D = 
       u1
   y1   0

21.3 模型连接

基本连接方式：串联、并联、反馈、闭环。

21.3.1 串联

1. $G_1(s)、G_2(s)$串联连接合成的系统的传递函数为$G(s)=G_1(s)?G_2(s)$；
2. [num,den] = series(num1,den1,num2,den2)；
3. 其中：num1、den1为系统$G_1(s)$的传递函数的分子和分母多项式；num2、den2为系统$G_2(s)$的传递函数的分子和分母多项式；num、den为串联后的系统$G(s)$的传递函数的分子和分母多项式；

21.3.2 并联

1. $G_1(s)、G_2(s)$并联合成的系统的传递函数为：$G(s)=G_1(s)+G_2(s)$；
2. [num,den] = parallel(num1,den1,num2,den2)；
3. 其中：num1、den1为系统$G_1(s)$的传递函数的分子和分母多项式；num2、den2为系统$G_2(s)$的传递函数的分子和分母多项式；num、den为串联后的系统$G(s)$的传递函数的分子和分母多项式；

21.3.3 反馈连接

1. 正反馈连接的传递传递函数为：
   $$GH(s)=\frac{G(s)H(s)}{1?G(s)H(s)}$$
2. 负反馈连接的传递函数为：
   $$GH(s)=\frac{G(s)H(s)}{1+G(s)H(s)}$$
3. [num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2,sign)；
4. num1、den1为系统G(s)的传递函数分子和分母多项式；num2、den2为系统H(s)的传递函数的分子和分母多项式；sign表示负反馈还是正反馈，默认为sign=-1；num、den为反馈连接后的系统的传递函数的分子和分母多项式；

21.4 模型连接实战

实战1：控制系统如下，求系统的串联和并联时的传递函数。

代码实现：

% series_and_parallel.m文件

% 系统1的分子分母向量
num1 = 6*[1,2];
den1 = conv([1,1],conv([1,3],[1,5]));

% 系统2的分子分母向量
num2 = [1,2.5];
den2 = conv([1,1],[1,4]);

% 构建串联和并联的分子分母向量
[nums,dens] = series(num1,den1,num2,den2);
[nump,denp] = parallel(num1,den1,num2,den2);

% 生成串联和并联的传递函数
s_tf = tf(nums,dens);
p_tf = tf(nump,denp);

s_tf,p_tf


% 结果：
s_tf =
               6 s^2 + 27 s + 30
  --------------------------------------------
  s^5 + 14 s^4 + 72 s^3 + 166 s^2 + 167 s + 60

p_tf =
   s^4 + 17.5 s^3 + 87.5 s^2 + 156.5 s + 85.5
  --------------------------------------------
  s^5 + 14 s^4 + 72 s^3 + 166 s^2 + 167 s + 60

实战2：系统如下图所示，求下图的闭环传递函数和反馈传递函数；

代码实现：

% feedback_cloop.m文件

% 系统1
num1 = [1,-1];
den1 = [1,-5,-2];

% 系统2
num2 = [1,1];
den2 = [1,3,2];

% 闭环连接系统和反馈连接系统
[numc,denc] = cloop(num1,den1);
[numf,denf] = feedback(num1,den1,num2,den2);

% 闭环连接传递函数和反馈连接传递函数
c_tf = tf(numc,denc);
f_tf = tf(numf,denf);

c_tf,f_tf

% 结果：
c_tf = 
      s - 1
  -------------
  s^2 - 4 s - 3
 
f_tf =
        s^3 + 2 s^2 - s - 2
  -------------------------------
  s^4 - 2 s^3 - 14 s^2 - 16 s - 5