一:普里姆算法
应用场景和问题:
(1)有胜利乡有7个村庄(A, B,C,D,E,F,G)，现在需要修路把7个村庄连通
(2)各个村庄的距离用边线表示(权)，比如A-B距离5公里
(3)间:如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
思路:将10条边连接即可,但是总的里程不是最小
正确思路:介绍尽可能的选择少的路线,并且每条路线最小,保证总里程数最少
最小生成树
修路问题本质就是就是最小生成树问题，先介绍一下最小生成树(Minimum CostSpanning Tree)，简称MST。
(1)给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树
(2)N个顶点，一定有N-1条边
(3)包含全部顶点
(4)N-1条边都在图中
(5)举例说明(如图:)
(6)求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法
普里姆算法介绍
? ? ? ? ?普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图
普利姆的算法如下:
(1)设G=(v,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，v,u是顶点集合，E,D是边的集合
(2)若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合v中取出顶点u放入集合u中，标记顶点v的visited[u]=1
(3)若集合u中顶点ui与集合v-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构回路，将顶点vj加入集合u中，将边（ui,vj）加入集合D中，标记visited[vj]=1
(4)重复步骤②，直到u与v相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边
(5)提示:单独看步骤很难理解，我们通过代码来讲解，比较好理解.
图解:
代码实现
package prim;
import java.util.Arrays;
import java.util.Date;
/**
* 普里姆算法
*/
public class PrimAlgorithm {
public static void main(String[] args) {
//测试看图是否创建ok
char[] data = new char[]{'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
int verxs = data.length;
//邻接矩阵的关系用二维数组表示,10000这个较大树,表示两个点不连通
int[][] weight = new int[][]{
{10000, 5, 7, 10000, 1000, 1000, 2},
{5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3},
{7, 10000, 10000, 10000, 8, 1000, 10000},
{10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000},
{10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4},
{10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6},
{2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000},};
//创建MGraph对象
MGraph graph = new MGraph(verxs);
//创建一个MinTree对象
MinTree minTree = new MinTree();
minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);
//输出
minTree.showGraph(graph);
//测试普里姆算法
minTree.prim(graph, 1);
}
}
//创建最小生成树=>村庄的图
class MinTree {
/**
* 创建图的邻接矩阵
*
* @param graph 图对象
* @param verxs 图对应的顶点个数
* @param data 图的各个顶点的值
* @param weight 图的邻接矩阵
*/
public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char[] data, int[][] weight) {
int i, j;
for (i = 0; i < verxs; i++) { //顶点
graph.data[i] = data[i];
for (j = 0; j < verxs; j++) {
graph.weight[i][j] = weight[i][j];
}
}
}
//显示图的邻接矩阵
public void showGraph(MGraph graph) {
for (int[] link : graph.weight) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
/**
* 编写prim算法,得到最小生产树
*
* @param graph 图
* @param v 表示从图第几个顶点开始生成 'A'->0 'B'->1...
*/
public void prim(MGraph graph, int v) {
//visited []标记结点(顶点)是否被访问过
int[] visited = new int[graph.verxs];
//visited[]默认元素值为0,表示没有访问
//把当前这个结点标记为已访问
visited[v] = 1;
//h1和h2记录两个顶点的下标
int h1 = -1;
int h2 = -1;
int minWeight = 10000; //将minWeight初始化成一个较大的数,后面遍历过程中,会被替换
for (int k = 1; k < graph.verxs; k++) {//因为有graph.verxs顶点,普利姆算法结束后,有graph.verxs-1边
//确定每一次生成的子图,和那个结点的距离最近
for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) { //i结点表示被访问过的结点
for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) { //j表示还没有访问过的结点
if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
//替换minWeight(寻找已经访问过的结点和未访问过的结点间的权值最小的边)
minWeight = graph.weight[i][j];
h1 = i;
h2 = j;
}
}
}
//找到一条边是最小
System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + ">权值:" + minWeight);
//将当前这个结点标记为已经访问
visited[h2] = 1;
//minWeight 重新设置为最大值
minWeight = 10000;
}
}
}
class MGraph {
int verxs; //表示图的节点个数
char[] data; //存放节点数据
int[][] weight; //存放边,介绍我们的邻接矩阵
public MGraph(int verxs) {
this.verxs = verxs;
data = new char[verxs];
weight = new int[verxs][verxs];
}
}
?二:克鲁斯卡尔算法
应用场景-公交站问题
(1)某城市新增7个站点(A, B,C, D,E,F,G)，现在需要修路把7个站点连通
(2)各站点的距离用边线表示(权)，比如A-B距离12公里
(3)问:如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
克鲁斯卡尔算法介绍
(1)克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
(2)基本思想:按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路
(3)具体做法:首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止
通过示例来认识算法
在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树
?
?
?举例出来的三张图代表了G4有多种的不同连接方式，说明是多样化的
那么什么时候是最小生成树呢？
就是众多连接方式中里：最小的，则成为最优的，是最小生成树
克鲁斯卡尔算法图解说明
我们以上图举例，来使用克鲁斯卡尔算法进行演示
假设：我们当前使用数组R来保存最小的生成树结果
?
?
?
?
我们发现这会造成回路，但是什么是回路？我们先来分析看看
当我们将E-F、C-D、D-E加入到数组R中时，这几条边都有了终点
关于终点的说明：
一、将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。
C的终点是F
D的终点是F
E的终点是F
F的终点是F
二、之前<C,E>虽然是权值最小的边，但是C和E的终点都是F，即它们的终点相同。
我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。
若将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。
第四步：选取G4图中第六小的权值边B-F，因为它的权值为7
?
?
?
?
?
?
克鲁斯卡尔算法思路小结
根据前面的图解算法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：
问题一：对图的所有边按照权值大小进行排序。
问题二：将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。
代码实现:
package kmp;
import java.util.Arrays;
/**
* 克鲁斯卡尔算法
*/
public class KruskalCase {
private int edgeNum; //边的个数
private char[] vertexs;//顶点数组
private int[][] matrix;//邻接矩阵
//使用INF 表示两个顶点不能联通
private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;
public static void main(String[] args) {
char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
//克鲁斯卡尔算法邻接矩阵
int matrix[][] = {
/*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
/*A*/ {0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},
/*B*/ {12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},
/*C*/ {INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},
/*D*/ {INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},
/*E*/{INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},
/*F*/ {16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},
/*G*/ {14, INF, INF, INF, 8, 9, 0},};
//创建克鲁斯卡尔对象实例
KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix);
//输出构建的
kruskalCase.print();
kruskalCase.kruskal();
}
//构造器
public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) {
//初始化顶点数和边的个数
int vlen = vertexs.length;
//初始顶点,复制拷贝的方式
this.vertexs = new char[vlen];
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
this.vertexs[i] = vertexs[i];
}
//初始化边,使用的是拷贝的方式
this.matrix = new int[vlen][vlen];
for (int i = 0; i < vlen; i++) {
for (int j = 0; j < vlen; j++) {
this.matrix[i][j] = matrix[i][j];
}
}
//统计边的条数
for (int i = 0; i < vlen; i++) {
for (int j = i + 1; j < vlen; j++) {
if (this.matrix[i][j] != INF) {
edgeNum++;
}
}
}
}
public void kruskal() {
int index = 0; //表示最后结果数组的索引
int[] ends = new int[edgeNum];//用于保存"已有最小生成数"中的每个顶点在最小生成树中的终点
//创建结果数组,保存最后的最小生成数
EDate[] rets = new EDate[edgeNum];
//获取图中所有集合的边,一共有12条边
EDate[] edges = getEdges();
System.out.println("图的边的集合" + Arrays.toString(edges) + "共" + edges.length);
//按照边的权值大小进行排序(从小到大)
sortEdges(edges);
//遍历edges数组,将边添加到最小生成树中,判断是准备加入的边是否形成回路,如果没有,就加入rets,否则就不能加入
for (int i = 0; i < edgeNum; i++) {
//获取第i条边的第一个顶点(起点)
int p1 = getPosition(edges[i].start);
//获取到第i条边的第2给顶点
int p2 = getPosition(edges[i].end);
//获取p1这个顶点在已有最小生成树的终点
int m = getEnd(ends, p1);
//获取p2这个顶点在已有最小树中的终点
int n = getEnd(ends, p2);
//是否构成回路
if (m != n) { //没有构成回路
ends[m] = n;//设置m 在"已有最小生成树"中的终点
rets[index++] = edges[i]; //有一条边加入到rets数组
}
}
//统计并打印"最小生成树",输出rets
System.out.println("最小生成树为");
for (int i = 0; i < index; i++) {
System.out.println(rets[i]);
}
}
//打印邻接矩阵
public void print() {
System.out.println("邻接矩阵为:\n");
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
for (int j = 0; j < vertexs.length; j++) {
System.out.printf("%10d\t", matrix[i][j]);
}
System.out.println();//换行
}
}
/**
* 对边进行排序处理,冒泡排序
*
* @param edges 边的集合
*/
private void sortEdges(EDate[] edges) {
for (int i = 0; i < edges.length - 1; i++) {
for (int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) {
if (edges[j].weight > edges[j + 1].weight) {//交换
EDate tmp = edges[j];
edges[j] = edges[j + 1];
edges[j + 1] = tmp;
}
}
}
}
/**
* @param ch ch顶点的值,比如'A' ,'B'
* @return 返回ch顶点对应的下标, 如果找不到, 返回-1
*/
private int getPosition(char ch) {
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
if (vertexs[i] == ch) { //找到
return i;
}
}
//找不到,返回-1
return -1;
}
/**
* 功能:获取图中边,放到EData[]数组中,后面我们需要遍历该数组
* 是通过matrix 邻接矩阵获取
* EData[] 形式[['A','B',12],['B','F',7].....]
* * @return
*/
private EDate[] getEdges() {
int index = 0;
EDate[] edges = new EDate[edgeNum];
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
for (int j = i + 1; j < vertexs.length; j++) {
if (matrix[i][j] != INF) {
edges[index++] = new EDate(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);
}
}
}
return edges;
}
/**
* 功能:获取下标为i的顶点的终点,用于后面判断两个终点的顶点是否相同
*
* @param ends :数组记录了各个顶点对应的终点是那个,edes,数组遍历过程中,逐步形成的
* @param i :表示传入的顶点对应的下标
* @return 返回的结束下标为i的这个顶点对应的终点的下标
*/
private int getEnd(int[] ends, int i) {
while (ends[i] != 0) {
i = ends[i];
}
return i;
}
}
//创建一个类EDate ,它的对象实例就表示一条表
class EDate {
char start;//边的一个点
char end; //边的另一个点
int weight; //边的权值
//构造器
public EDate(char start, char end, int weight) {
this.start = start;
this.end = end;
this.weight = weight;
}
//重写toString,便于输出,输出边的信息
@Override
public String toString() {
return "EDate[" + "<" + start + ", " + end + ">=" + weight + "]";
}
}三:迪杰斯特拉算法
应用场景-最短路径问题
(1)战争时期，胜利乡有7个村庄(A,B,C,D,E,F, G)，现在有六个邮差，从G点出发，需要分别把邮分别送到A, B,C,D,E,F六个村庄
(2)各个村庄的距离用边线表示(权)，比如A-B距离5公里
(3)问:如何计算出G村庄到其它各个村庄的最短距离?
(4)如果从其它点出发到各个点的最短距离又是多少?
迪杰斯特拉(Dijkstra)算法介绍
? ? ? ?迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法，用于计算一个结点到其他结点的最短路径。它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止。
?
?迪杰斯特拉(Dijkstra)算法过程
设置出发顶点为v，顶点集合V{v1,v2,vi...}，v到V中各顶点的距离构成距离集Dis,Dis{d1,d2,di...}，Dis集合记录着v到图中各顶点的距离(到自身可以看作0，v到vi距离对应为di)
(1)从Dis中选择值最小的di并移出Dis集合，同时移出v集合中对应的顶点vi，此时的v到vi即为最短路径
(2)更新Dis集合，更新规则为:比较v到V集合中顶点的距离值，与v通过vi到v集合中顶点的距离值保留值较小的一个(同时也应该更新顶点的前驱节点为vi，表明是通过vi到达的)
(3)重复执行两步骤，直到最短路径顶点为目标顶点即可结束
迪杰斯特拉算法最佳应用-最短路径?
图解的方法分析思路
?代码实现
package dijkstra;
import java.util.Arrays;
/**
* 迪杰斯特拉算法 -最短路径
*/
public class DijkstraAlgorithm {
public static void main(String[] args) {
char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
//邻接矩阵
int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];
final int N = 65535;//表示不可连接
matrix[0] = new int[]{N, 5, 7, N, N, N, 2};
matrix[1] = new int[]{5, N, N, 9, N, N, 3};
matrix[2] = new int[]{7, N, N, N, 8, N, N};
matrix[3] = new int[]{N, 9, N, N, N, 4, N};
matrix[4] = new int[]{N, N, 8, N, N, 5, 4};
matrix[5] = new int[]{N, N, N, 4, 5, N, 6};
matrix[6] = new int[]{2, 3, N, N, 4, 6, N};
//创建Graph对象
Graph graph = new Graph(vertex, matrix);
//测试
graph.showGraph();
//测试
graph.dsj(2);
graph.showDijkstra();
}
}
class Graph {
private char[] vertex;//顶点数组
private int[][] matrix;//邻接矩阵
private VisitedVertex vv;//已经访问的顶点集合
//构造器
public Graph(char[] vertex, int[][] matrix) {
this.vertex = vertex;
this.matrix = matrix;
}
//显示图
public void showGraph() {
for (int[] link : matrix) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
//显示结果
public void showDijkstra() {
vv.show();
}
/**
* 迪杰斯特拉算法实现
*
* @param index 表示出发顶点对应的下标
*/
public void dsj(int index) {
vv = new VisitedVertex(vertex.length, index);
update(index); //更新index顶点到周围顶点的距离
for (int j = 1; j < vertex.length; j++) {
index = vv.updateArr(); //选择并返回新的访问结点
update(index); //跟新index顶点到周围顶点的距离和前驱顶点
}
}
//更新index下标顶点到周围顶点的距离和周围顶点的前驱顶点,
private void update(int index) {
int len = 0;
//根据遍历我们的邻接矩阵的matrix[index]行
for (int j = 0; j < matrix[index].length; j++) {
//len 含义是:出发顶点到index顶点的距离+从index顶点到j顶点的距离的和
len = vv.getDis(index) + matrix[index][j];
//如果j顶点没有被访问过,并且len小于出发顶点到j顶点的距离,就需要跟新
if (!vv.in(j) && len < vv.getDis(j)) {
vv.updatePre(j, index); //跟新j顶点的前驱为index顶点
vv.updateDis(j, len); //更新出发顶点到j顶点的距离
}
}
}
}
//已访问项点集合
class VisitedVertex {
//记录各个顶点是否访过1表示访问过,o未访问,会动态更新
public int[] already_arr;
//每个下标对应的值为前一个顶点下标,会动态更新
public int[] pre_visited;
//记录出发顶点到其他所有顶点的距离,比如G为出发顶点，就会记录G到其它顶点的距离,会动态更新,求的最短距离就会存放到dis
public int[] dis;
/**
* 构造器
*
* @param length 表示顶点的个数
* @param index 出发顶点对应的下标,比如G顶点,下标就是6
*/
public VisitedVertex(int length, int index) {
this.already_arr = new int[length];
this.pre_visited = new int[length];
this.dis = new int[length];
//初始化dis数组
Arrays.fill(dis, 65535);
this.already_arr[index] = 1;//设置出发顶点被访问过
this.dis[index] = 0;//设置出发顶点的访问距离为0
}
/**
* 功能:判断index顶点是否被访问过
*
* @param index
* @return 如果访问过, 就返回true, 否则返回false
*/
public boolean in(int index) {
return already_arr[index] == 1;
}
/**
* 功能:跟新出发顶点到index顶点的距离
*
* @param index
* @param len
*/
public void updateDis(int index, int len) {
dis[index] = len;
}
/**
* 功能:更新pre这个顶点的前驱结点为index顶点
*
* @param pre
* @param index
*/
public void updatePre(int pre, int index) {
pre_visited[pre] = index;
}
/**
* 功能:返回出发顶点到index顶点的距离
*
* @param index
*/
public int getDis(int index) {
return dis[index];
}
/**
* 功能:继续选择并返回新的访问顶点,比如这个的G完后,就是A作为新的访问顶点(注意不是出发顶点)
*
* @return
*/
public int updateArr() {
int min = 65535, index = 0;
for (int i = 0; i < already_arr.length; i++) {
if (already_arr[i] == 0 && dis[i] < min) {
min = dis[i];
index = i;
}
}
//跟新index顶点被访问过
already_arr[index] = 1;
return index;
}
//输出最后的结果
//即将最后的三个数组的情况输出
public void show() {
System.out.println("=========================");
//输出already_arr
for (int i : already_arr) {
System.out.print(i + " ");
}
System.out.println();
//输出pre_visited
for (int i : pre_visited) {
System.out.print(i + " ");
}
System.out.println();
//输出dis
for (int i : dis) {
System.out.print(i + " ");
}
System.out.println();
//为了好看最后的最短距离,我们处理
char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
int count = 0;
for (int i : dis) {
if (i != 65535) {
System.out.print(vertex[count] + "(" + i + ")");
} else {
System.out.println("N");
}
count++;
}
System.out.println();
}
}?四:弗洛伊德算法
弗洛伊德(Floyd)算法介绍
(1)和Dijkstra算法一样，弗洛伊德(Floyd)算法也是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名
(2)弗洛伊德算法(Floyd)计算图中各个顶点之间的最短路径
(3)迪杰斯特拉算法用于计算图中某一个顶点到其他顶点的最短路径。
(4)弗洛伊德算法vS迪杰斯特拉算法:迪杰斯特拉算法通过选定的被访问顶点，求出从出发访问顶点到其他顶点的最短路径;弗洛伊德算法中每一个顶点都是出发访问点，所以需要将每一个顶点看做被访问顶点，求出从每一个顶点到其他顶点的最短路径。
?
?弗洛伊德(Floyd)算法图解分析
(1)设置顶点vi到顶点vk的最短路径已知为Lik，顶点vk到vj的最短路径已知为Lkj，顶点vi到vj的路径为Lij，则vi到vj的最短路径为: min(Lik+Lkj),Lij)，vk的取值为图中所有顶点，则可获得vi到vj的最短路径
(2)至于vi到k的最短路径Lik或者vk到vj的最短路径lkj，是以同样的方式获得3)弗洛伊德(Floyd)算法图解分析-举例说明
?
弗洛伊德算法最佳应用-最短路径
?(1)胜利乡有7个村庄(A, B,C,D,E,F, G)
(2)各个村压的距离用边线表示(权)，比如A-B距离5公里
(3)问:如何计算出各村庄到其它各村庄的最短距离?
代码实现
package floyd;
import java.util.Arrays;
/**
* 弗洛伊德算法-最短路径
*/
public class FloydAlgorithm {
public static void main(String[] args) {
//测试看看图是否创建成功
char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
//创建邻接矩阵
int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];
final int N = 65535;
matrix[0] = new int[]{0, 5, 7, N, N, N, 2};
matrix[1] = new int[]{5, 0, N, 9, N, N, 3};
matrix[2] = new int[]{7, N, 0, N, 8, N, N};
matrix[3] = new int[]{N, 9, N, 0, N, 4, N};
matrix[4] = new int[]{N, N, 8, N, 0, 5, 4};
matrix[5] = new int[]{N, N, N, 4, 5, 0, 6};
matrix[6] = new int[]{2, 3, N, N, 4, 6, 0};
//创建Graph对象
Graph graph = new Graph(vertex.length, matrix, vertex);
//调用弗洛伊德算法
graph.floyd();
graph.show();
}
}
//创建图
class Graph {
private char[] vertex; //存放顶点的数组
private int[][] dis; //保存,从各个顶点出发到其他顶点的距离,最后结果,也是保存在该数组
private int[][] pre; //保存到达目标顶点的前驱顶点
/**
* 构造器
*
* @param length 大小
* @param matrix 邻接矩阵
* @param vertex 顶点数组
*/
public Graph(int length, int[][] matrix, char[] vertex) {
this.vertex = vertex;
this.dis = matrix;
this.pre = new int[length][length];
//对pre数组初始化,注意存放的是前驱顶点的下标
for (int i = 0; i < length; i++) {
Arrays.fill(pre[i], i);
}
}
//显示pre数组和dis数组
public void show() {
//为了显示方便阅读,我们优化一下输出
char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
for (int k = 0; k < dis.length; k++) {
//先将pre数组输出一行
for (int i = 0; i < dis.length; i++) {
System.out.print(vertex[pre[k][i]] + " ");
}
System.out.println();
//输出dis数组的一行数据
for (int i = 0; i < dis.length; i++) {
System.out.print("(" + vertex[k] + "到" + vertex[i] + "的最短路径是" + dis[k][i] + " )");
}
System.out.println();
System.out.println();
}
}
//弗洛伊德算法,容易理解,容易实现
public void floyd() {
int len = 0;//变量保存距离
//对中间顶点遍历,k 就是中间顶点的下标
for (int k = 0; k < dis.length; k++) {
//从i顶点开始出发[A,B,C,D,E,F,G]
for (int i = 0; i < dis.length; i++) {
//到达j顶点
for (int j = 0; j < dis.length; j++) {
len = dis[i][k] + dis[k][j]; //=>从i顶点出发,经过k中间顶点,到达j顶点距离
if (len < dis[i][j]) {//如果len小于dis[i][j]
dis[i][j] = len;//更新距离
pre[i][j] = pre[k][j];//更新前驱结点
}
}
}
}
}
}
五:马踏棋盘算法
马踏棋盘算法介绍
(1)马踏棋盘算法也被称为骑士周游问题
(2)将马随机放在国际象棋的8×8棋盘Board[0～~7][0～7]的某个方格中，马按走棋规则(马走日字)进行移动。要求每个方格只进入一次，走遍棋盘上全部64个方格
?
马踏棋盘游戏代码实现
(1)马踏棋盘问题(骑士周游问题)实际上是图的深度优先搜索(DFS)的应用。
(2)如果使用回溯（就是深度优先搜索）来解决，假如马儿踏了53个点，如图:走到了第53个，坐标(1,0），发现已经走到尽头，没办法，那就只能回退了，查看其他的路径，就在棋盘上不停的回溯…..，
思路分析
?
(3)分析第一种方式的问题，并使用贪心算法( greedyalgorithm)进行优化。解决马踏棋盘问题.
?(4)使用前面的游戏来验证算法是否正确。
?代码实现:
package horse;
import java.awt.*;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Comparator;
/**
* 马踏棋盘算法--深度优先
*/
public class HorseChessboard {
private static int X; //棋牌的列数
private static int Y; //棋牌的行数
//创建一个数组,标记棋牌各个位置是否被访问过
private static boolean visited[];
//使用一给属性,标记是否棋牌所有位置都被访问了
private static boolean finished;//如果为true,表示成功
public static void main(String[] args) {
System.out.println("骑士周游算法,开始运行~~~");
//测试骑士周游算法是否正确
X = 8;
Y = 8;
int row = 1; //马儿初始位置的行,从1开始编号
int column = 1;//马儿初始的位置的列,从1开始编号
//创建棋牌
int[][] chessboard = new int[X][Y];
visited = new boolean[X * Y]; //初始值都是false
//测试一下耗时
long start = System.currentTimeMillis();
traversalChessborad(chessboard, row - 1, column - 1, 1);
long end = System.currentTimeMillis();
System.out.println("共耗时" + (end - start) + "毫秒");
//输出棋牌的最后情况
for (int[] rows : chessboard) {
for (int step : rows) {
System.out.print(step + "\t");
}
System.out.println();
}
}
/**
* 完成骑士周游问题的算法
*
* @param chessboard 棋牌
* @param row 马儿当前的位置的行从 0开始
* @param column 马儿当前位置的列 从0开始
* @param step 是第几步,初始位置计算第1步
*/
public static void traversalChessborad(int[][] chessboard, int row, int column, int step) {
chessboard[row][column] = step;
visited[row * X + column] = true; //标记该位置已经访问
//获取当前位置可以走的下一个位置的集合
ArrayList<Point> ps = next(new Point(column, row));
//对ps进行排序,排序的规则就是对ps的所有的Point对象的下一步的位置的数目,进行非递减排序
sort(ps);
//遍历ps
while (!ps.isEmpty()) {
Point p = ps.remove(0);//取出下一个可以走的位置
//判断该点是否已经访问过
if (!visited[p.y * X + p.x]) {//说明还没有访问过
traversalChessborad(chessboard, p.y, p.x, step + 1);
}
}
//判断马儿是否完成任务,使用step和应该走的步数比较
//如果没有达到数量,则表示没有完成任务,将整个棋牌置为0
//说明:step < X * Y 成立的情况有两种
//1.棋牌到目前位置,仍然没有走完
//2.棋牌处于一个回溯过程
if (step < X * Y && !finished) {
chessboard[row][column] = 0;
visited[row * X + column] = false;
} else {
finished = true;
}
}
/**
* 功能:根据当前位置(Point对象),计算马儿还能走那些位置(Point),并放入到一个集合中(ArrayList),最多8给位置
*
* @param curPoint
* @return
*/
public static ArrayList<Point> next(Point curPoint) {
//创建一个ArrayList
ArrayList<Point> ps = new ArrayList<>();
//创建一个Point
Point p1 = new Point();
//表示马儿可以走5这个位置
if ((p1.x = curPoint.x - 2) >= 0 && (p1.y = curPoint.y - 1) >= 0) {
ps.add(new Point(p1));
}
//判断马儿能不能走6这个位置
if ((p1.x = curPoint.x - 1) >= 0 && (p1.y = curPoint.y - 2) >= 0) {
ps.add(new Point(p1));
}
//判断马儿能不能走7这个位置
if ((p1.x = curPoint.x + 1) < X && (p1.y = curPoint.y - 2) >= 0) {
ps.add(new Point(p1));
}
//判断马儿能不能走0这个位置
if ((p1.x = curPoint.x + 2) < X && (p1.y = curPoint.y - 1) >= 0) {
ps.add(new Point(p1));
}
//判断马儿能不能走1这个位置
if ((p1.x = curPoint.x + 2) < X && (p1.y = curPoint.y + 1) < Y) {
ps.add(new Point(p1));
}
//判断马儿能不能走2这个位置
if ((p1.x = curPoint.x + 1) < X && (p1.y = curPoint.y + 2) < Y) {
ps.add(new Point(p1));
}
//判断马儿能不能走3这个位置
if ((p1.x = curPoint.x - 1) >= 0 && (p1.y = curPoint.y + 2) < Y) {
ps.add(new Point(p1));
}
//判断马儿能不能走4这个位置
if ((p1.x = curPoint.x - 2) >= 0 && (p1.y = curPoint.y + 2) < Y) {
ps.add(new Point(p1));
}
return ps;
}
//根据当前这个一步的所有的下一步的选择位置,进行非递减排序,,减少回溯次数
public static void sort(ArrayList<Point> ps) {
ps.sort(new Comparator<Point>() {
@Override
public int compare(Point o1, Point o2) {
//获取到o1的下一步的所有位置个数
int count1 = next(o1).size();
//获取到o2的下一步的所有位置个数
int count2 = next(o2).size();
if (count1 < count2) {
return -1;
} else if (count1 == count2) {
return 0;
} else {
return 1;
}
}
});
}
}