AVL树的概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
- 它的左右子树都是AVL树
- 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
- 平衡因子的计算是右子树的高度减去左子树的高度的差值结果
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在O(log N) ，搜索时间复杂度O( log N)。
AVL树节点的定义
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode<K, V>* _left; //左孩子
AVLTreeNode<K, V>* _right; //右孩子
AVLTreeNode<K, V>* _parent; //父亲结点
pair<K, V> _Kv; //键值
int _bf; //平衡因子
//构造函数
AVLTreeNode(const pair<K, V>& Kv)
:_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_parent(nullptr)
,_Kv(Kv)
,_bf(0)
{ }
};
AVL树的定义
template<class K, class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
AVLTree()
:_root(nullptr)
{}
private:
Node* _root;
};
AVL树的插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入
过程可以分为两步：
按照二叉搜索树的方式插入新节点
与根结点比较如果比根大就往右子树插入，如果比根小就往左子树插入，直到走到合适的位置就插入，由于这里是三叉链所以需要处理结点之间的关联关系
bool Insert(const pair<K, V> &kv)
{
if (!_root) _root = new Node(kv); //初始根节点
Node* cur = _root;
Node* parent = _root;
while (cur)
{
K key = cur->_Kv.first;
if (key > kv.first) //比根结点的key值小，
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if(key < kv.first)//比根结点的key值大，
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false; //插入失败
}
}
//开始插入
cur = new Node(kv);
Node* newNode = cur;
if (parent->_Kv.first > newNode->_Kv.first) //新插入的结点key值比根节点小就插入到左子树
{
parent->_left = newNode;
newNode->_parent = parent;
}
else //新插入的结点key值比根节点大就插入到右子树
{
parent->_right = newNode;
newNode->_parent = parent;
}
}
调整节点的平衡因子
当左右子树的高度发生了变化，那么就需要对父亲及祖先路径上的所有结点的平衡因子进行调整
//更新祖先路径的所以结点的平衡因子
/*
总结五种情况：
1、新增结点出现在父结点的左边，平衡因子减减
2、新增结点出现在父结点的右边，平衡因子加加
3、父亲的平衡因子为0就不再调整
4、父亲结点的平衡因子为1或者-1继续调整
5、父亲结点的平衡因子为2或者-2那就旋转
*/
while (parent)
{
if (parent->_left == cur) parent->_bf--; //1、
if (parent->_right == cur) parent++; //2、
if (parent->_bf == 0) break; //3、
if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)//4、
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2) //5、
{
//旋转
if (parent->_bf == -2)
{
if (cur->_bf == -1) RotateR(parent); //左边高，右单旋
else RotateLR(parent); //左右双旋
}
else //右 parent->_bf == 2
{
if (cur->_bf == 1) RotateL(parent);//右边高左单旋转
else RotateRL(parent); //右左双旋
}
break;
}
}
AVL树的四种旋转
旋转的原则是遵循搜索树的规则，尽量让两边平衡
如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：
右单旋
新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋
不管是哪种单旋都得考虑两种情况：
1、局部旋转，如果parent并不是树的_root结点，那么就需要调整subL和根结点的关系
2、独立旋转，parent就是树的_root结点，那么subL就是旋转后的根节点了
3、subLR有可能为null
//右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR) subLR->_parent = parent; //防止subLR为nullptr
subL->_right = parent;
Node* parent_parent = parent->_p arent; //指针备份
parent->_parent = subL;
if (_root == parent) //如果parent就是树的根
{
_root = subL; //subL取代parent
_root->_parent = nullptr;
}
else //如果parent并不是树的根
{
if (parent_parent->_left == parent) parent->_left = subL;
else parent_parent->_right = subL;
subL->_parent = parent_parent; //subL去做parent_parent的孩子
}
//调节平衡因子
subL->_bf = parent->_bf = 0;
}
左单旋
新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋
跟右单旋几乎是一样的做法
1、局部旋转，如果parent并不是树的_root结点，那么就需要调整subL和根结点的关系
2、独立旋转，parent就是树的_root结点，那么subL就是旋转后的根节点了
3、subRL有可能为null
//左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL) subRL->_parent = parent;
subR->_left = parent;
Node* parent_parent = parent->_parent;
parent->_parent = subR;
if (_root == parent)
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parent_parent->_left == parent) parent_parent->_left = subR;
else parent_parent->_right = subR;
subR->_parent = parent_parent;
}
subR->_bf = parent->_bf = 0;
}
左右双旋
新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋
1、新增结点在b或c都会影响左右子树的高度，从而引发双旋
h > 0情况一：
h > 0，情况二：
h == 0情况三：
//左右旋转
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
if (bf == -1) //h > 0，新增结点在b
{
parent->_bf = 1;
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
}
else if (bf == 1) //h > 0，新增结点在c
{
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else if(bf == 0) //h = 0
{
parent->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
}
}
右左双旋
右左双旋跟左右双旋的情况基本是类似的，这里就不列举多种情况了
新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋
//右左旋转
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
if (bf == -1) //h > 0，新增结点在b
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == 1) //h > 0，新增结点在c
{
parent->_bf = -1;
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)//h = 0
{
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
}
查找
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key > cur->_Kv.first) cur = cur->_right; //左子树
else if (key < cur->_Kv.first) cur = cur->_left; //右子树
else return cur;
}
}
其他接口
判断是不是平衡二叉树
int height(Node* root) //求高度
{
return !root ? 0
: max(height(root->_left),
height(root->_right)) + 1;
}
void _Inorder(Node* root)//中序遍历
{
if (!root) return;
_Inorder(root->_left);
printf("%d : %d\n",root->_Kv.first, root->_Kv.second);
_Inorder(root->_right);
}
//判断是不是平衡二叉树
bool IsAVLTree()
{
return _IsAVLTree(_root);
}
bool _IsAVLTree(Node* root)
{
if (!root) return true;
int left = height(root->_left);
int right = height(root->_right);
//检查平衡因子
if (right - left != root->_bf)
{
printf("错误的平衡因子 %d :%d\n", root->_Kv.first, root->_Kv.second);
return false;
}
return (abs(right - left) < 2)
&& _IsAVLTree(root->_left)
&& _IsAVLTree(root->_right);
}
析构函数
//析构函数
~AVLTree()
{
Destroy(_root);
_root = nullptr;
}
void Destroy(Node *root)//后序销毁结点
{
if (!root) return;
Destroy(root->_left);
Destroy(root->_right);
delete root;
}
拷贝构造
Node* copy(Node* cp)
{
if (!cp) return nullptr;
Node* newnode = new Node(cp->_Kv);
newnode->_left = copy(cp->_left);
newnode->_right = copy(cp->_right);
return newnode;
}
//拷贝构造
AVLTree(const AVLTree<K, V>& job)
{
if(&job != this)
_root = copy(job._root);
}
拷贝赋值
void operator=(AVLTree<K, V> tmp)
{
if (&tmp != this)
swap(tmp._root, this->_root);
}
重载operator[ ]
V& operator[](const K& key)
{
return (Insert(make_pair(key, V())).first)->_Kv.second;
}
AVL树的完整实现代码博主已经放在 git.
