[数据结构与算法]寒假：Day17

Day17

数位DP

数位DP很经典的情况就是问你一段区间内满足某种性质的数的个数，一般如果数据量小的话可以暴搜，但是如果数据范围大了就需要数位DP了

1081. 度的数量 - AcWing题库

求一段区间满足条件的数的个数，我们可以利用前缀和的思想，求出 $dp(x)$ 是从 $0$ 到 $x$ 满足条件的数，然后答案就能表示为 $f(r)?f(l?1)$ ，数位DP的核心思想就是分类讨论，从每一位数字上分类讨论，最后得出结论。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 35;
int f[N][N];
int K, B;

int dp(int n)
{
    if (!n) return 0; // 特判边界
    
    vector<int> nums;
    while (n) nums.push_back(n % B), n /= B; // 将数以B进制分解每一位
    
    int res = 0;
    int last = 0; // 记录已经填了多少个1
    
    for (int i = nums.size() - 1; i >= 0; i--) { //从最高位开始往后枚举 
        int x = nums[i];
        if (x) { // 求左边分支中的数的个数
            res += f[i][K - last];
            if (x > 1) {
                if (K - last - 1 >= 0) res += f[i][K - last - 1];
                break;
            }
            else {
                last ++;
                if (last > K) break;
            }
        }
        if (!i && last == K) res ++; // 最右侧分支的方案
    }
    return res;
}

int main(void)
{
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j <= i; j++) {
            if (!j) f[i][j] = 1;
            else f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - 1];
        }
    }    
    int l, r;
    cin >> l >> r >> K >> B;
    cout << dp(r) - dp(l - 1) << endl ;
    return 0;
}

1082. 数字游戏 - AcWing题库

每一个数位DP的问题都会有一个特定的一种预处理的方式，方便我们取计算个数，很多情况下预处理也需要用到一些DP的方式，所以说数位DP的难点，预处理占一块。数位DP是有模板有迹可循的，照着模板走分类讨论更加清晰。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 15;

int f[N][N]; // f[i][j] 表示一共有i位，且最高位填j的不降数的个数

void init() // 预处理
{
    for (int i = 0; i < 10; i++) f[1][i] = 1;
    
    for (int i = 2; i < N; i++)
        for (int j = 0; j < 10; j++)
            for (int k = j; k < 10; k++)
                f[i][j] += f[i - 1][k];
}

int dp(int n)
{
    if (!n) return 1;
    
    vector<int> nums;
    while (n) nums.push_back(n % 10), n /= 10; // 拆数字
    
    int res = 0;
    int last = 0; // 记录上一位填了什么
    
    for (int i = nums.size() - 1; i >= 0; i--) // 从最高位开始枚举
    {
        int x = nums[i];
        for (int j = last; j < x; j++) { // 从前一位开始枚举
            res += f[i + 1][j];
        }
        if (last > x) break; // 如果说当前位小于前一位，那就一定降序，所以break
        last = x; // 更新last值
        if (!i) res++; // 如果能走到最后一位，说明这个数本身也是符合的，所以答案加1
    }
    return res;
}

int main()
{
    init();
    int l, r;
    while (cin >> l >> r) cout << dp(r) - dp(l - 1) << endl ;
    return 0; 
}