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[数据结构与算法]Java中关于二叉树详解

一、树形结构

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点；
除根节点外，其余节点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继；
树是递归定义的。

1.1 相关概念

在这里插入图片描述

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的度为6；
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6；
叶子节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点；
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点；
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点；
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4

以下概念仅做了解即可：

非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点；
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点；
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点；
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先；
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙；
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林。

1.2树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。这里简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

孩子兄弟表示法代码示例：

class Node {
int value; // 树中存储的数据
Node firstChild; // 第一个孩子引用
Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

图示：
在这里插入图片描述

1.3树的应用：文件系统管理（目录和文件）

在这里插入图片描述

二、二叉树

2.1相关概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树的特点：

每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于 2 的结点。
二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

2.2 二叉树的基本形态

在这里插入图片描述
上图给出了几种特殊的二叉树形态。
从左往右依次是：空树、只有根节点的二叉树、节点只有左子树、节点只有右
子树、节点的左右子树均存在，一般二叉树都是由上述基本形态结合而形成的。

2.3 两种特殊的二叉树

满二叉树: 一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1 ，则它就是满二叉树。
完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。（另一种解释：如果二叉树中除去最后一层节点为满二叉树，且最后一层的结点依次从左到右分布，则此二叉树被称为完全二叉树。）要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

非完全二叉树：

2.4 二叉树的性质

若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^i-1 (i>0)个结点；
若规定只有根节点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2^k-1 (k>=0)；
对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1；
具有n个结点的完全二叉树的深度k为log₂(n+1) 上取整；
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点；
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子；
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子；

如：假设一棵完全二叉树中总共有1000个节点，则该二叉树中__500___个叶子节点，__500___个非叶子节点，__1___个节点只有左孩子，__0___个只有右孩子。
题解：将该二叉树节点缩小100倍，变为该完全二叉树中总共有10个节点，由性质2可得深度K为：4，前三层共有7个节点，则最后一层有10-7=3个节点，由性质1的第三层有4个节点，其中有2个节点上面有子节点，剩余2个为叶子结点，则该二叉树共有3+2=5个叶子结点，扩大100倍为500个叶子结点，则剩余的就位非叶子结点。有相关分析可知该二叉树有1个节点只有左孩子，0个节点只有右孩子。

2.5 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}

// 孩子双亲表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
Node parent; // 当前节点的根节点
}

2.6 二叉树的基本操作

2.6.1二叉树的遍历

遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。
LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。
由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

如上面这张图,
其前序遍历：ABDEHCFG;
中序遍历：DBEHAFCG；
后序遍历：DHEBFGCA。

2.6.2 二叉树的基本操作

构建一颗二叉树：
代码示例：

class TreeNode{
    public char val;
    public TreeNode left;
    public TreeNode right;

    public TreeNode(char val){
        this.val = val;
    }
 }
public class BinaryTree {
	//创建一个二叉树
    public TreeNode createTree(){
        TreeNode A = new TreeNode('a');
        TreeNode B = new TreeNode('b');
        TreeNode C = new TreeNode('c');
        TreeNode D= new TreeNode('d');
        TreeNode E = new TreeNode('e');
        TreeNode F = new TreeNode('f');
        TreeNode G = new TreeNode('g');
        TreeNode H = new TreeNode('h');
        A.left = B;
        A.right = C;
        B.left = D;
        B.right = E;
        E.right = H;
        C.left = F;
        C.right = G;
        return A;
    }

1. 前序遍历

根–》左–》右

 void preOrderTraversal(TreeNode root){
        if(root == null){
            return;
        }
        System.out.print(root.val + " ");
        preOrderTraversal(root.left);
        preOrderTraversal(root.right);
    }

测试代码：

 public static void main(String[] args) {
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        TreeNode root = binaryTree.createTree();
        binaryTree.preOrderTraversal(root);//前序遍历
        }

输出结果：
在这里插入图片描述

2. 中序遍历

左–》根–》右

 // 中序遍历
    void inOrderTraversal(TreeNode root){
        if(root == null){
            return;
        }
        inOrderTraversal(root.left);
        System.out.print(root.val + " ");
        inOrderTraversal(root.right);
    }

测试代码：

public static void main(String[] args) {
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        TreeNode root = binaryTree.createTree();
         binaryTree.inOrderTraversal(root);//中序遍历
        }

输出结果：
在这里插入图片描述

3. 后序遍历

左–》右–》根

// 后序遍历
    void postOrderTraversal(TreeNode root){
        if(root == null){
            return;
        }
        postOrderTraversal(root.left);
        postOrderTraversal(root.right);
        System.out.print(root.val + " ");
    }

测试代码：

public static void main(String[] args) {
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        TreeNode root = binaryTree.createTree();
        binaryTree.postOrderTraversal(root);//后序遍历
        }

输出结果：
在这里插入图片描述

4. 遍历思路-求结点个数

 static int size = 0;//静态变量
    void getSize1(TreeNode root){
        if(root == null){
            return;
        }
        size++;
        getSize1(root.left);
        getSize1(root.right);
    }

5. 子问题思路-求结点个数

int getSize2(TreeNode root){
        if(root == null){
            return 0;
        }
        return  getSize2(root.left) + getSize2(root.right)+1;
    }

测试代码：

 public static void main(String[] args) {
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        TreeNode root = binaryTree.createTree();
        binaryTree.getSize1(root);
        System.out.println(BinaryTree.size);
        System.out.println("============");
        System.out.println(binaryTree.getSize2(root));
   }

输出结果：
在这里插入图片描述

6. 遍历思路-求叶子结点个数

//遍历这颗二叉树，只要节点的左子树和右子树都是空的，那么就是叶子
    static int leafSize = 0;
    void getLeafSize1(TreeNode root){
        if(root == null){
            return;
        }
        if(root.left == null && root.right == null){
            leafSize++;
        }
        getLeafSize1(root.left);
        getLeafSize1(root.right);
    }

7. 子问题思路-求叶子结点个数

//整棵树的叶子结点 = 左子树叶子 + 右子树叶子
    int getLeafSize2(TreeNode root){
        if(root == null){
            return 0;
        }
        if(root.left == null && root.right == null){
            return 1;
        }
        return  getLeafSize2(root.left) + getLeafSize2(root.right);
    }

测试代码：

public class test01 {
    public static void main(String[] args) {
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        TreeNode root = binaryTree.createTree();
        binaryTree.getLeafSize1(root);
        System.out.println(BinaryTree.leafSize);//遍历思路-求叶子结点个数
        System.out.println("+++++++++++++");
        //binaryTree.getLeafSize2(root);
        //System.out.println(BinaryTree.leafSize);//子问题思路-求叶子结点个数
        System.out.println(binaryTree.getLeafSize2(root));
  }

输出结果：
在这里插入图片描述

8. 子问题思路-求第 k 层结点个数

// 子问题思路-求第 k 层结点个数
    int getKLevelSize(TreeNode root,int k){
        if(root == null){
            return 0;
        }
        if(k == 1){
            return 1;
        }
   return getKLevelSize(root.left,k-1) + getKLevelSize(root.right,k - 1);
    }

测试代码：

public class test01 {
    public static void main(String[] args) {
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        TreeNode root = binaryTree.createTree();
 		System.out.println(binaryTree.getKLevelSize(root,3));
 }

输出结果：

9. 获取二叉树的高度

int getHeight(TreeNode root){
        if(root == null){
            return  0;
        }
        int leftTree = getHeight(root.left);
        int rightTree = getHeight(root.right);
        return ((leftTree > rightTree) ? leftTree + 1 : rightTree + 1);
    }

测试代码：

public class test01 {
    public static void main(String[] args) {
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        TreeNode root = binaryTree.createTree();
 		int hight = binaryTree.getHeight(root);
        System.out.println(hight);
 }

输出结果：
在这里插入图片描述

10. 查找val所在的节点

查找 val 所在结点，没有找到返回 null；
按照根 -> 左子树 -> 右子树的顺序进行查找；
一旦找到，立即返回，不需要继续在其他位置查找。

    TreeNode find(TreeNode root, char val){
        if(root == null){
            return null;
        }
        if(root.val == val){
            return root;
        }
       TreeNode ret = find(root.left,val);
        if(ret != null){
            return ret;
        }
        ret = find(root.right,val );
        if(ret != null){
            return ret;
        }
        return null;
    }

测试代码：

public class test01 {
    public static void main(String[] args) {
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        TreeNode root = binaryTree.createTree();
 		//查找树中得指定val值
       TreeNode ret = binaryTree.find(root,'f');//如果没有找到则显示空指针异常
        System.out.println(ret.val);
 }

输出结果：
在这里插入图片描述

11.二叉树的层序遍历

 // 层序遍历
    void levelOrderTraversal(TreeNode root){
        if(root == null){
            return;
        }
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);
        while (!queue.isEmpty()){
           TreeNode top = queue.poll();
            System.out.print(top.val+" ");
            if(top.left != null){
                queue.offer(top.left);
            }
            if (top.right != null){
                queue.offer(top.right);
            }
        }
        System.out.println();
    }

测试代码：

public class test01 {
    public static void main(String[] args) {
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        TreeNode root = binaryTree.createTree();
 		binaryTree.levelOrderTraversal(root);//层序遍历
 }

输出结果：
在这里插入图片描述

12.判断一棵树是不是完全二叉树

// 判断一棵树是不是完全二叉树
    boolean isCompleteTree(TreeNode root){
        if(root == null){
            return true;
        }
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);
        while (!queue.isEmpty()){
            TreeNode top = queue.poll();//弹出一个元素
            if(top != null){
                queue.offer(top.left);
                queue.offer(top.right);
            }else{
                break;
            }
        }
        while (!queue.isEmpty()){
            TreeNode cur = queue.peek();
            if (cur == null){
                queue.poll();
            }else {
                //说明不是完全二叉树
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

测试代码：

public class test01 {
    public static void main(String[] args) {
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        TreeNode root = binaryTree.createTree();
        //判断一棵树是不是完全二叉树
 		System.out.println(binaryTree.isCompleteTree(root)); 
 }

输出结果：
在这里插入图片描述

13.非递归实现前序遍历

 //非递归实现
    // 前序遍历
    void preOrderTraversalNor(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        TreeNode cur = root;
        Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
        while (cur != null || !stack.empty()) {
            while (cur != null) {
                stack.push(cur);
                System.out.print(cur.val + " ");
                cur = cur.left;
            }
            TreeNode top = stack.pop();
            cur = top.right;
        }
    }

14.非递归实现中序遍历

 // 中序遍历
    void inOrderTraversalNor(TreeNode root){
        if (root == null) {
            return;
        }
        TreeNode cur = root;
        Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
        while (cur != null || !stack.empty()){
            while (cur != null){
                stack.push(cur);
                cur = cur.left;
            }
            TreeNode top = stack.pop();
            System.out.print(top.val + " ");
            cur = top.right;
        }

    }

15.非递归实现后序遍历

// 后序遍历非递归
    void postOrderTraversalNor(TreeNode root){
        if (root == null) {
            return;
        }
        TreeNode cur = root;
        Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
        TreeNode pre = null;//用来指定上一个被打印过的元素
        while (cur != null || !stack.empty()){
            while (cur != null){
                stack.push(cur);
                cur = cur.left;
            }
            cur = stack.peek();
            if(cur.right == null || cur.right == pre ){
                TreeNode popNode = stack.pop();
                System.out.print(popNode.val + " ");
                pre = cur;
                cur = null;
            }else {
                cur = cur.right;
            }
        }
    }

测试代码：

 public static void main(String[] args) {
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        TreeNode root = binaryTree.createTree();
       // binaryTree.preOrderTraversal(root);//前序遍历
        //System.out.println();
        binaryTree.preOrderTraversalNor(root);//前序遍历非递归
        System.out.println();
        //binaryTree.postOrderTraversal(root);//后序遍历
        //System.out.println();
        binaryTree.postOrderTraversalNor(root);//后序遍历非递归
        System.out.println();
        //binaryTree.inOrderTraversal(root);//中序遍历
        //System.out.println();
        binaryTree.inOrderTraversalNor(root);//中序遍历非递归
        System.out.println();
}