数学证明

ax + by = gcd(a,b)

令gcd(a,b) = d

得：ax + by = d ①

因为：gcd(a,b) = gcd(b,a%b)

所以：bx + a%b * y = d

bx + (a-[a/b] * b) * y = d???? 注：[ ]是向下取整的意思

整理得：bx + ay - [a/b] * by = d

ay + b(x - [a/b] * y) = d ②

由①和②得：

1 . x = y

2. y = x - [a/b] * y = x - [a/b] * x

?

边界：

当b=0时，ax + by = gcd(a,b) = a

ax = a ==> x = 1

by = 0 ==> y = 0

?

综上：

x = 1, ? y = 0???? (b=0)

x = y,?? y = y-[a/b] * x (或写成y-=[a/b]*x)???? (b!=0)

代码实现

void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y)
{
	if(b==0)
	{
		d = a;
		x = 1;
		y = 0;
	}
	else
	{
		exgcd(b,a%b,d,y,x);
		y -= x*(a/b);
	}
}

注意：x y 需要引用操作

老规矩，上一道例题收个尾！

给出2个数M和N(M < N)，且M与N互质，找出一个数K满足0 < K < N且K * M % N = 1，如果有多个满足条件的，输出最小的。

Input

输入2个数M, N中间用空格分隔（1 <= M < N <= 10^9)

Output

输出一个数K，满足0 < K < N且K * M % N = 1，如果有多个满足条件的，输出最小的。

Sample Input
2 3
Sample Output
2

AC代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y)
{
	if(b==0)
	{
		d = a;
		x = 1;
		y = 0;
	}
	else
	{
		exgcd(b,a%b,d,y,x);
		y -= x*(a/b);
	}
}
int main()
{
	ll m,n,k;
	cin>>m>>n;
	ll x,y,d;
	exgcd(m,n,d,x,y);
	k = (x%n+n)%n;
	cout<<k<<endl;
}

最后，感谢您的阅读！！！