红黑树的概念
红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的
概念总结：
红黑树是二叉搜索树的升级，结点里面存放的成员col标记当前结点的颜色，它的最长路径最多是最短路径的二倍，红黑树通过各个结点着色方式的限制接近平衡二叉树，但是不同于AVL的是AVL是一颗高度平衡的二叉树，红黑树只是接近平衡
红黑树的性质
- 每个结点不是红色就是黑色
- 根节点是黑色的
- 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的
- 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均 包含相同数目的黑色结点
- 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)
红黑树性质总结：
1、红黑树结点的颜色只能是红色或者黑色
2、红黑树根节点必须是黑色
3、红黑树并没有连续的红色结点
4、红黑树中从根到叶子的每一条路径都包含相同的黑色结点
5、叶子是黑色，表示空的位置
最长路径和最短路径概念：
最短路径：从根结点到叶子结点每一条路径的结点颜色都是黑色的不包含红色
最长路径：红黑交替，黑色结点和红色结点的个数相等
思考：为什么满足上面的性质，红黑树就能保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍？
假设结点个数为N，那么最短路径就是logN，最长路径就是2 * logN，所有并不存在最长路径超过最短路径2倍的情况
红黑树的定义与树结构
//枚举红黑颜色
enum colour
{
RED,
BLACK,
};
//定义红黑树结点结构
template<class K,class V>
struct RBTreeNode
{
//构造
RBTreeNode(const pair<K, V>& kv = {0,0})
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _kv(kv)
,_col(BLACK)
{ }
//定义三叉链
RBTreeNode<K, V>* _left; //左孩子
RBTreeNode<K, V>* _right;//右孩子
RBTreeNode<K, V>* _parent; //父亲
pair<K, V> _kv; //pair对象
//节点的颜色
colour _col; //定义枚举变量
};
//定义红黑树
template<class K, class V>
class RBTree
{
typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
//构造
RBTree()
:_root(nullptr)
{}
private:
Node* _root; //定义树的根节点
};
插入
插入过程类似搜索树的插入，重要的是维护红黑树的性质
pair<Node*, bool> Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (!_root) //空树处理
{
_root = new Node(kv);
_root->_col = BLACK;
return { _root, true };
}
//二叉搜索树的插入逻辑
Node* cur = _root, * parent = nullptr;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)//插入结点比当前结点大
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first) //插入结点比当前结点小
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return { cur, false }; //插入失败
}
}
cur = new Node(kv);
cur->_col = RED; //新增结点颜色默认设置为RED
//判断插入结点是否在parent的左边或者右边
if (parent->_kv.first > kv.first) //左边
{
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
else //右边
{
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
/* 红黑树性质处理：
如果这棵树一开始是符合红黑树的性质，但在新增结点之后，
导致失去了红黑树的性质，这里需要控制结点的颜色和限制
每条路径上黑色结点的个数，以上情况都要处理
*/
while (parent && parent->_col == RED) //父亲存在且父亲为红色
{
Node* grandfather = parent->_parent; //祖父
//父亲出现在祖父的左边需要考虑的情况
if(parent == grandfather ->left)
{
//1、uncle存在，uncle为红色
/*
如果parent和uncle都存在并且都为红色这是情况一，
需要将parent和uncle的颜色变成红色，祖父颜色变成黑色
更新cur、parent、grandfather、uncle 继续向上调整
*/
//2、uncle不存在
/* 这里考虑两种旋转情况，直线单旋转，折线双旋
/*
cur出现在parent的左边 ,右单旋转
经过右单旋后，parent去做树的根,祖父做为右子树
//调节结点颜色
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
*/
/*
cur出现在parent的右边，左右双旋
经过双旋后，cur作为树的根，grandfather为右子树
调节结点颜色
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
*/
*/
}
else //父亲出现在祖父的右边
{
Node* uncle = grandfather->_left; //叔叔在左子树
/*
情况一：叔叔存在，且叔叔和父亲都是红色，那么就需要将父亲
和叔叔结点的颜色变成黑色，再将祖父的颜色变成红色，
继续向上调整，更新孩子、父亲、祖父、叔叔的位置
*/
/*
情况二：叔叔不存在
/*
1、新增结点出现在父亲的右边，直线情况，左单旋处理
旋转完后parent去做父亲的根，grandfather做父亲
的左子树
//调节颜色，根为黑，左右孩子为红
2、新增结点出现在父亲的左边，会出现折现的情况，
引发双旋，旋转完后，cur变成根，
parent和grandfaher去做cur的左右孩子
//调节颜色,根结点为黑，左右孩子为红
*/
*/
}
}
//如果父亲不存在为了保证根结点是黑色的，这里一定得将根结点处理为黑色
_root->_col = BLACK;
}
新增结点插入后维护红黑树性质的主逻辑
//1、父亲一定存在的情况，叔叔存在/不存在 父亲叔叔结点颜色为红色
while (parent && parent->_col == RED) //父亲存在且父亲为红色
{
Node* grandfather = parent->_parent; //祖父
//如果父亲和叔叔结点颜色都是红色
if (parent == grandfather->_left)
{
Node* uncle = grandfather->_right;
if (uncle && uncle->_col == RED) //对应情况：uncle存在且为红
{
//处理：父亲和叔叔变成黑色，祖父变成红色，继续向上调整
uncle->_col = parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
//向上调整
cur = grandfather; //调整孩子
parent = cur->_parent;//调整父亲
}
else //uncle不存在，uncle存在且为黑
{
//直线情况(cur在parent的左边)：只考虑单旋，以grandfather为旋转点进行右单旋转，
//旋转完后将祖父的颜色变成红色，将父亲的颜色变成黑色
if (parent->_left == cur)
{
RotateR(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else //parent->_right == cur
{
//折线情况(cur在parent的右边)：这里会引发双旋
RotateL(parent); //以parent为旋转点进行左单旋
RotateR(grandfather); //以grandfather为旋转点进行右单旋转
//旋转完后cur会去做树的根，那么设置为黑色，
//为了保证每条路径的黑色结点个数相同，grandfather结点颜色设置为红
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED; //黑色 结点个数相同
}
}
}
else //父亲在右子树
{
Node* uncle = grandfather->_left; //叔叔在左子树
if (uncle&& uncle->_col == RED) //情况一处理：叔叔存在，且叔叔的颜色是红色的（包含了父亲的颜色是红色的情况）
{
//根据情况一处理即可：叔叔和父亲变黑，
//祖父变红(目的是为了每条路径的黑色结点个数相同)，继续向上
cur = grandfather; //孩子
parent = cur->_parent;//父亲
}
else //叔叔不存在
{
if (cur == parent->_right) //新增结点在父亲的右边，直线情况左单旋处理
{
//左单旋转，以grandfather为旋转点，旋转完后parent去做新的根，grandfather去做左子树
RotateL(grandfather);
//调节颜色
grandfather->_col = RED;
parent->_col = BLACK;
}
else //新增结点在父亲的左边，折线情况，引发双旋
{
//处理：以parenrt为旋转点做右单旋，再以grandfather为旋转点做左单旋
RotateR(parent); //右旋
RotateL(grandfather); //左旋
parent->_col = grandfather->_col = RED;
cur->_col = BLACK;
}
break;
}
}
_root->_col = BLACK;
}
拆解讨论：
以下只列举parent在grandfather左边的情况，而parent在grandfather右边的情况处理方式只是反过来的，读者可以自行画图，这里仅留参考代码
Node* uncle = grandfather->_right;
if (uncle && uncle->_col == RED) //对应情况：uncle存在且为红
{
//处理：父亲和叔叔变成黑色，祖父变成红色，继续向上调整
uncle->_col = parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
//向上调整
cur = grandfather; //调整孩子
parent = cur->_parent;//调整父亲
}
else //uncle不存在，uncle存在且为黑
{
//直线情况(cur在parent的左边)：只考虑单旋，以grandfather为旋转点进行右单旋转，
//旋转完后将祖父的颜色变成红色，将父亲的颜色变成黑色
if (parent->_left == cur)
{
RotateR(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else //parent->_right == cur
{
//双旋转
}
}
//折线情况(cur在parent的右边)：这里会引发双旋
RotateL(parent); //以parent为旋转点进行左单旋
RotateR(grandfather); //以grandfather为旋转点进行右单旋转
//旋转完后cur会去做树的根，那么设置为黑色，
//为了保证每条路径的黑色结点个数相同，grandfather结点颜色设置为红
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
旋转
void RotateR(Node* parent) //右单旋
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR) subLR->_parent = parent; //防止subLR为nullptr
subL->_right = parent;
Node* parent_parent = parent->_parent; //指针备份
parent->_parent = subL;
if (_root == parent) //如果parent就是树的根
{
_root = subL; //subL取代parent
_root->_parent = nullptr;
}
else //如果parent并不是树的根
{
if (parent_parent->_left == parent) parent->_left = subL;
else parent_parent->_right = subL;
subL->_parent = parent_parent; //subL去做parent_parent的孩子
}
}
//左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL) subRL->_parent = parent;
subR->_left = parent;
Node* parent_parent = parent->_parent;
parent->_parent = subR;
if (_root == parent)
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parent_parent->_left == parent) parent_parent->_left = subR;
else parent_parent->_right = subR;
subR->_parent = parent_parent;
}
}
验证
/*
红黑树的几点性质在于：
1、根结点必须是红色的
2、不会出现连续的红色结点
3、所有路径的黑色结点个数是相同的
*/
bool _CheckBlance(Node* root, int isBlackNum, int count)
{
if (!root)
{
if (isBlackNum != count)
{
printf("黑色结点个数不均等\n");
return false;
}
return true; //遍历完整棵树，如果以上列举的非法情况都不存在就返回true
}
//检查是否出现连续的红色结点
if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
{
printf("出现了连续的红色结点\n");
return false;
}
//走前序遍历的过程中记录每一条路径黑色结点的个数
if (root->_col == BLACK) count++;
//递归左右子树
return _CheckBlance(root->_left, isBlackNum, count) &&
_CheckBlance(root->_right, isBlackNum, count);
}
//验证红黑树
bool CheckBlance()
{
if (!_root) return true; //树为null
//根结点是黑色的
if (_root->_col != BLACK)
{
printf("根结点不是黑色的\n");
return false;
}
//每一条路径黑色结点的个数必须是相同的，
int isBlcakNum = 0;
Node* left = _root;
while (left)
{
if (left->_col == BLACK) isBlcakNum++; // 统计某一条路径的所以黑色结点个数
left = left->_left;
}
//检查连续的红色结点，检查每一条路径的黑色结点个数是否相等
return _CheckBlance(_root, isBlcakNum ,0);
}
红黑树与AVl树的比较
红黑树与AVL树的比较
红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的
时间复杂度都是O( log n)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。
红黑树的应用
- C++ STL库 – map/set、mutil_map/mutil_set
- Java 库
- linux内核
- 其他一些库
完整代码博主已经放在git上了，读者可以参考
红黑树实现.
