[数据结构与算法]挑战性题目DSCT601：背包问题

挑战性题目DSCT601：背包问题

问题描述

有一个容量为$V$的背包，要求往背包中装入价值尽可能多的物品。这些物品分别有两个属性：体积$w$和价值$v$，且每种物品至多有一个，背包可以不被装满，求装入后的最大价值。

输入输出格式：

第一行为两个整数$N、V$，用空格隔开，表示背包的容量$V$与物品的数量$N$。接下来$N$行每行由两个整数$w_i$与$v_i$组成，用空格隔开，表示物品i的体积和价值。请以printf()方式输出最大价值即可。

约定$0<N,V\le 1000000$，且$0<wi,vi\le 4294967296$

题解

讲个笑话：开学一个月，挑战题第一道是数位dp；快期末了，挑战题最后一道是背包问题。而这门课没有讲动态规划😅

还有个更好笑的，$N\times V=10^{12}$的背包问题😅

基础的01背包问题，dp[i][j]表示枚举到第$i$个物品且背包装下了体积为$j$的物品时物品的最大价值。于是我们每次枚举物品，尝试用新的物品去更新每个体积的最大价值，那么转移方程就是
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-vi]+wi)

可以发现，每次转移时我们仅调用了下标为i-1的数组，因此可以采用滚动数组的办法，省掉一维的空间。需要注意因为每次更新仅会修改j更大的节点的值，所以我们不能正序访问，而需要倒序访问，否则该问题会变为完全背包问题。

这样，01背包的理论复杂度为$O\left(NV\right)$，看起来对于本题${10}^6$的数据规模并不够用，但是由于物品的体积$v_i$范围较大，倘若数据随机生成，则容量落在${10}^6$范围内的物品的期望个数为${10}^6\times \frac{{10}^6}{4294967296}\approx 233$，所以只要做好判断，就可以AC此题。

代码

#pragma GCC optimize(2)
#include<cstdio>
#include<ctype.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int M=1e6;
int N,V,w,v;
LL dp[M+5],ans,r;
char c;
inline char nc()
{
	static const int buflen=1e6;
	static char buf[buflen],*p1=buf,*p2=buf;
	return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,buflen,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
LL read(){for(r=0;!isdigit(c);c=nc());for(;isdigit(c);c=nc())r=(r<<1)+(r<<3)+c-'0';return r;}
void out(LL x){if(x>9)out(x/10);putchar(x%10+'0');}
int main(int argc,char* argv[])
{
    freopen(argv[1],"r",stdin);
    N=read(),V=read();
    for(int i=1;i<=N;++i)
    {
    	w=read(),v=read();
    	for(int j=V;j>=w;--j)
    	if(dp[j]<dp[j-w]+v)dp[j]=dp[j-w]+v;
    }
    out(dp[V]);
}