先证明
a
→
b
a\rightarrow b
a→b：
令
n
0
=
0
n_0=0
n0?=0;
- 设 k = 1 k=1 k=1，因为 L L L是 ( a n ) n = 0 ∞ (a_n)_{n=0}^\infty (an?)n=0∞?的极限点，则可以找到某个 n 1 > n 0 n_1>n_0 n1?>n0?使得 a n 1 a_{n_1} an1??是 1 ? 1- 1?接近于 L L L的；
- 设 k = 2 k=2 k=2，因为 L L L是 ( a n ) n = 0 ∞ (a_n)_{n=0}^\infty (an?)n=0∞?的极限点，则可以找到某个 n 2 > n 1 n_2>n_1 n2?>n1?使得 a n 2 a_{n_2} an2??是 1 2 ? \frac{1}{2}- 21??接近于 L L L的；
依次重复以上步骤我们得到一个序列
(
a
n
k
)
k
=
0
∞
=
(
a
n
0
,
a
n
1
,
a
n
2
,
a
n
3
.
.
.
.
.
.
)
(a_{n_k})_{k=0}^\infty=(a_{n_0},a_{n_1},a_{n_2},a_{n_3}......)
(ank??)k=0∞?=(an0??,an1??,an2??,an3??......)
满足该序列的第
k
(
k
>
0
)
k(k>0)
k(k>0)项
a
n
k
a_{n_k}
ank??是
1
k
?
\frac{1}{k}-
k1??接近于
L
L
L的；
现设
ε
>
0
\varepsilon >0
ε>0是任意实数，只要
k
′
?
1
ε
k'\geqslant \frac{1}{\varepsilon}
k′?ε1?，就有
a
n
k
′
a_{n_{k'}}
ank′??是
ε
?
\varepsilon-
ε?接近于
L
L
L的。因此子序列
(
b
k
)
k
=
0
∞
=
(
a
n
k
)
k
=
0
∞
(b_k)_{k=0}^\infty=(a_{n_k})_{k=0}^\infty
(bk?)k=0∞?=(ank??)k=0∞?
收敛到实数
L
L
L。
再证明
b
→
a
b\rightarrow a
b→a：
设
(
a
n
k
)
k
=
0
∞
(a_{n_k})_{k=0}^\infty
(ank??)k=0∞?是收敛到
L
L
L的子序列。
那么对于任意的
ε
>
0
\varepsilon >0
ε>0，存在
M
?
0
M\geqslant 0
M?0，使得当
n
k
?
M
n_k\geqslant M
nk??M时
a
n
k
a_{n_k}
ank??是
ε
?
\varepsilon -
ε?接近于
L
L
L的。
对于每个
N
?
0
N\geqslant 0
N?0，令
m
=
m
a
x
(
M
,
N
)
m=max(M,N)
m=max(M,N)，则存在
n
′
=
n
k
′
?
m
n'=n_{k'}\geqslant m
n′=nk′??m，使得
a
n
′
=
a
n
k
′
a_{n'}=a_{n_{k'}}
an′?=ank′??是
ε
?
\varepsilon -
ε?接近于
L
L
L的，因此序列
(
a
n
)
n
=
0
∞
(a_n)_{n=0}^\infty
(an?)n=0∞?是持续
ε
?
\varepsilon -
ε?附着于
L
L
L的，也就证明了
L
L
L是
(
a
n
)
n
=
0
∞
(a_n)_{n=0}^\infty
(an?)n=0∞?的极限点。