[数据结构与算法] 1.2（1）欧拉方法

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[数据结构与算法]1.2（1）欧拉方法

让我们简单思考（ODEs）（1.1）的含义。可以得到以下两条信息：我们知道 $y$ 在一个初值点 $t$ = $t_0$ 处的值，并且给任何函数 $y$ $\epsilon$ $\mathbb{R}^{d}$ 和时间 $t\geq t_0$ ，我们就能得到微分方程的斜率。这样做的目的是使我们能够估计出 $y$ 在其他点的值，最简单的方法是用线性插值，换句话说，我们通过做这样的近似 $f\left ( t,y\left ( t \right ) \right )\approx f\left ( t_0,y\left ( t_0 \right ) \right )\$ ， $t\epsilon \left [ t_0,t_0+h \right ]$ 来估计 $y\left ( t \right )$ 的值，当 $h> 0$ 足够小时，结合（1.1），

给出一系列 $t_0$ ， $t_1= t_0+ h$ ，? $t_2=t_1+2h$ ,...,其中 $h> 0$ 是步长，我们用 $y_n$ 表示精确解 $y(t_n)$ , $n=1,2,...$ 的数值近似解，由式（1.3），我们采取

$y_1=y_0+hf(t_0,y_0)$ .

这个过程能够持续输出在 $t_2,t_3$ ,...处 $y$ 的近似解。通常我们能够得到一个递归式

这就是著名的欧拉方法。?

欧拉方法尽管很简单，却有着持久的实用意义，它不仅是最基本的（ODEs）计算式，而且也是微分数值分析发展的基础。更深层次的理解为，对于所有的多步式和龙格-库塔式，我们没有其他需要讨论的，只需讨论式（1.4）即可。

图解? ? ?欧拉方法能够用图形形象的表示出来，例如，考虑这个标量逻辑斯谛方程 $y^{?{}'}=y(1-y)$ , $y\left ( 0 \right )=1/10$ .

图一展示了欧拉方法最初的几步，用了一个很大的步长为 $h=1$ ，并且在每一步我们都能得出 $t_n=nh$ 附近 $y\left ( t_n \right )=y_n$ 的精确解，和关于欧拉方程的（1.4）的线性插值。

这个被定义的初始条件是准确的，因此是 $t_0$ 处准确的斜率。可是这些数值解不是一条弯曲的轨迹而是分段线性的。可以看到 $t_1$ 处是错误的轨迹，也就是说 $t_1$ 处的斜率是错误的——或者说是别的，但它是这个错误结果的正确的斜率。继续做下去，轨迹可能会越来越偏离原来的轨迹。

可是，求数值解的实际目标不是这样的，所以要去尽量避免错误。毕竟，我们要做近似解，但因为一开始并不知道精确解，并且误差在我们求（ODEs)近似解的每一步都可能产生，我们的目的是要去理解这些过程并确保没有错误。在这个被求解的例子中，误差累积并没有超出容忍范围。很显然，过大的步长 $h=1$ 只导致了图1.1中的局部误差。