[数据结构与算法]图论3—差分约束

差分约束

运用范围：（求解多个二元不等式组）

例如：

$X1?X2<=0$
$X3?X4<=8$
$X2?X5<=?9$
$X3?X1<=7$
$X5?X2<=0$
$......$

原理：

1. 对于这类不等式组，其解集要么无解，要么有无数解。(所有数同时加上X,其差值不会改变)
2. 我们可以用最短路的思想解决这类问题

在对一张图跑完最短路算法后，对任意一条由u指向v的边都存在不等式：
Dis[v]<=Dis[u]+Len[u][v]
将这个不等式移项有：
Dis[v]-Dis[u]<=Len[u][v]
这与不等式：$X1?X2<=M$神似。
所以我们只需要把$X1$当作v点，$X2$当作u点，再向两点连一条边长为m的边即可。
最后这个不等式组就会变成一张图。

如何判断是否有解？

当你构造的这张图存在负权回路就表示无解
（若存在负权回路则Dis数组会无限减少，最终不满足不等式）

如何求出一组具体的解

1. 新建一个原点$X0$,把$X0$向所有点连一条权值为0的边
2. 以$X0$为起点跑一遍最短路。
3. 对每一个节点的Dis[i],就是$Xi$的一个可行解
4. 若把Dis[$X0$]设置为A时，所有其它节点的值都会小于A（不等式定义）

例题

AC代码：

#include<stdio.h>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define H 500005
#define LL long long
int N,M;
int Dis[H],ED[H],LA[H],NT[H],LEN[H],tot,Cnt[H];
queue<int>Q;
void LB(int u,int v,int d){
	ED[++tot]=v;NT[tot]=LA[u];LA[u]=tot;LEN[tot]=d;
}
bool flag=1,MK[H];
void SPFA(int S){
	for(int i=1;i<=N;i++)Dis[i]=1000000000;
	Q.push(S);
	MK[S]=1;Cnt[S]++; 
	while(!Q.empty()){
		int x=Q.front();
		Q.pop();MK[x]=0;
		for(int i=LA[x];i;i=NT[i]){
			int y=ED[i];
			if(Dis[y]>Dis[x]+LEN[i]){
				Dis[y]=Dis[x]+LEN[i];
				if(!MK[y]){
					MK[y]=1;Cnt[y]++;
					if(Cnt[y]>N){
						flag=0;return;
					}
					Q.push(y);
				}
			}
		}
	}
}
int main(){
	scanf("%d%d",&N,&M);
	for(int i=1;i<=M;i++){
		int u,v,d;
		scanf("%d%d%d",&v,&u,&d);
		LB(u,v,d);
	}
	for(int i=1;i<=N;i++)LB(0,i,0);
	SPFA(0);
	if(!flag)puts("NO");
	else{
		for(int i=1;i<=N;i++)printf("%d ",Dis[i]);
	}
}