[数据结构与算法]【数字信号处理】基本序列 ( 正弦序列 | 数字角频率 ω | 模拟角频率 Ω | 数字频率 f | 模拟频率 f0 | 采样频率 Fs | 采样周期 T )

一、正弦序列 ( 数字信号 )

正弦序列 :

$$x(n)=sin(\omega n)=sin(2\pi fn)$$

$\omega n$ 是要计算正弦的弧度 , $n$ 是一个整数值 , $\omega$ 是角频率 , $f$ 是数字频率 ;

$\omega$ 是角频率的单位是 弧度/秒 , $f$ 数字频率单位是 Hz ;

$\omega =2\pi f$ , 数字频率 乘以 $2\pi$ 就是角频率 ;

上述 正弦序列 , 是 从模拟信号转换过来的 , 下面介绍原始的模拟信号 ;

二、模拟角频率 与 数字角频率 关系

模拟角频率 与 数字角频率 关系 : $\omega$ 是 数字角频率 , 注意与 模拟角频率 $\Omega$ 进行区分 , 上述二者之间的关系是 $\omega =\Omega T$ ;

$T$ 是采样周期 , 也就是多长时间采集一个样本 , 采样频率 $F_s=\frac{1}{T}$ ;

如 : 音频采样频率是 $F_s=44100Hz$ , 对应的采样周期 $T=\frac{1}{44100}$ 秒 ;

三、模拟信号

模拟信号 :

$$x_a(t)=sin({\Omega }_{0}t)=sin(2\pi f_{0}t)$$

上述模拟信号采样频率为 $F_s$ ;

$t$ 是时间 , 单位是秒 , ${\Omega }_0$ 是角频率 , 单位是 弧度/秒 , ${\Omega }_{0}t$ 是一个弧度值 , 也就是 $t$ 秒对应的弧度值 , $f_0$ 是模拟频率 , 没有单位 ;

正弦序列 与 模拟信号 之间的关系 : 模拟信号 转 数字信号 ;

$$x(n)=x_a(nT)=sin({\Omega }_{0}nT)=sin(\omega n)$$

四、数字角频率 ω 与 模拟角频率 Ω 与 模拟频率 f 的关系

数字角频率 $\omega$ ( 单位 弧度 ) 与 模拟角频率 ${\Omega }_0$ 与 模拟频率 $f$ 的关系 : $\omega ={\Omega }_{0}T={\Omega }_0/F_s=2\pi f$

${\Omega }_{0}T$ 分析 : ${\Omega }_0$ 是 模拟角频率 , 单位是 弧度 / 秒 , $T$ 是采样周期 , 单位是 秒 , ${\Omega }_{0}T$ 计算出来是 弧度 ;

${\Omega }_0/F_s$ 分析 : $F_s$ 是采样率 , 单位是 Hz , ${\Omega }_0/F_s$ , 弧度/秒 除以 频率 Hz 计算结果是 数字角频率 ;

$2\pi f$ 分析 : $f$ 是数字频率 , 没有单位 , $2\pi f$ 是 数字角频率 , 单位是 弧度 ;

五、数字频率 f 与 模拟频率 f0 的关系

数字频率 ( 单位 Hz ) : $f=f_0/F_s$

$F_s$ 是采样率 , 如音频的采样率是 $44100Hz$ ;

模拟频率 $f_0$ 除以 采样频率 $F_s$ , 得到的是 数字频率 $f$ ;

模拟频率 $f_0$ 没有单位 , $F_s$ 采样率单位是 $Hz$ , 数字频率 $f$ 单位也是 Hz ;

模拟频率 $f_0$ 的物理意义 : 频率越高 , 表明其时域波动越剧烈 , 变化越剧烈 ;

六、正弦序列示例

正弦序列 :

$$x(n)=sin(\omega n)=sin(2\pi fn)$$

示例一 : 其数字频率 $f=0.0625$ , 周期 $N=16$ , 也就是每隔 $16$ 个采样点 , 重复一次 ;

示例二 : 其数字频率 $f=0.125$ , 周期 $N=8$ , 也就是每隔 $8$ 个采样点 , 重复一次 ;