一、使用递推解法求解 " 线性常系数差分方程 "
使用 " 线性常系数差分方程 " 描述系统 :
y
(
n
)
=
a
y
(
n
?
1
)
+
x
(
n
)
y(n) = ay(n-1) + x(n)
y(n)=ay(n?1)+x(n)
输入序列 :
x
(
n
)
=
δ
(
n
)
x(n) = \delta (n)
x(n)=δ(n)
计算输出
y
(
n
)
y(n)
y(n) ;
假设 " 初始条件 " : 零状态为
y
(
?
1
)
=
0
y(-1) = 0
y(?1)=0
当
n
=
0
n = 0
n=0 时 ,
δ
(
0
)
=
1
\delta (0) = 1
δ(0)=1 ,
y
(
0
)
=
a
y
(
0
?
1
)
+
δ
(
0
)
=
a
×
0
+
δ
(
0
)
=
1
y(0) = ay(0-1) + \delta(0) = a \times 0 + \delta (0) = 1
y(0)=ay(0?1)+δ(0)=a×0+δ(0)=1
当
n
=
1
n = 1
n=1 时 ,
δ
(
1
)
=
0
\delta (1) = 0
δ(1)=0 ,
y
(
1
)
=
a
y
(
1
?
1
)
+
δ
(
1
)
=
a
×
y
(
0
)
+
δ
(
1
)
=
a
y(1) = ay(1-1) + \delta(1) = a \times y(0) + \delta (1) = a
y(1)=ay(1?1)+δ(1)=a×y(0)+δ(1)=a
当
n
=
2
n = 2
n=2 时 ,
δ
(
2
)
=
0
\delta (2) = 0
δ(2)=0 ,
y
(
2
)
=
a
y
(
2
?
1
)
+
δ
(
2
)
=
a
×
y
(
1
)
+
δ
(
2
)
=
a
2
y(2) = ay(2-1) + \delta(2) = a \times y(1) + \delta (2) =a ^2
y(2)=ay(2?1)+δ(2)=a×y(1)+δ(2)=a2
??????
?
\ \ \ \ \ \ \vdots
???????
当
n
=
n
n = n
n=n 时 ,
y
(
n
)
=
a
n
u
(
n
)
=
h
(
n
)
y(n) = a^n u(n)= h(n)
y(n)=anu(n)=h(n)
假设 " 初始条件 " : 零状态为
y
(
?
1
)
=
1
y(-1) = 1
y(?1)=1
当
n
=
0
n = 0
n=0 时 ,
y
(
0
)
=
a
y
(
?
1
)
+
δ
(
0
)
=
1
+
a
y(0) = ay(-1) + \delta(0) = 1 + a
y(0)=ay(?1)+δ(0)=1+a
当
n
=
1
n = 1
n=1 时 ,
y
(
1
)
=
a
y
(
0
)
+
δ
(
1
)
=
(
1
+
a
)
a
y(1) = ay(0) + \delta(1) = (1 + a)a
y(1)=ay(0)+δ(1)=(1+a)a
当
n
=
2
n = 2
n=2 时 ,
y
(
2
)
=
a
y
(
1
)
+
δ
(
2
)
=
(
1
+
a
)
a
2
y(2) = ay(1) + \delta(2) = ( 1 + a )a ^2
y(2)=ay(1)+δ(2)=(1+a)a2
??????
?
\ \ \ \ \ \ \vdots
???????
当
n
=
n
n = n
n=n 时 ,
y
(
n
)
=
(
1
+
a
)
a
n
u
(
n
)
=?
h
(
n
)
y(n) = (1 + a)a^n u(n) \not= h(n)
y(n)=(1+a)anu(n)?=h(n)
" 线性常系数差分方程 " 表示的不一定是 " 线性时不变系统 LTI " ;
二、" 线性常系数差分方程 " 初始条件的重要性
在上面的示例中 , 相同的 " 线性常系数差分方程 "
y
(
n
)
=
a
y
(
n
?
1
)
+
x
(
n
)
y(n) = ay(n-1) + x(n)
y(n)=ay(n?1)+x(n)
相同的 " 输入序列 "
x
(
n
)
=
δ
(
n
)
x(n) = \delta(n)
x(n)=δ(n)
由于 " 初始条件 " 不同 ,
y
(
?
1
)
=
1
y(-1) = 1
y(?1)=1 和
y
(
?
1
)
=
0
y(-1) = 0
y(?1)=0 这两个初始条件 ,
得到的 解 , 也就是 " 输出序列 " 也不同 ;
如果 " 线性常系数差分方程 " 的 " 初始条件 " 不确定 , 则其相应的 " 解 " 也不能确定 ;
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