[数据结构与算法]Part I. S2. 直觉模糊集理论

2.1 直觉模糊集定义

定义1.7
??设$X$是一个非空经典集合，则称
A ~ = { ? x , μ A ~ ( x ) , ν A ~ ( x ) ? ∣ x ∈ X } (2.1) \tilde {A} = \left\{ \left\langle x,\mu_{\tilde{A}}(x), \nu_{\tilde{A}}(x) \right\rangle | x\in X \right\}\tag{2.1} A~={?x,μA~?(x),νA~?(x)?∣x∈X}(2.1)
??为$X$上的一个直觉模糊集，其中${\mu }_{\tilde{A}}(x)$和$v_{\tilde{A}}(x)$分别为元素x属于$\tilde{A}$的隶属度和非隶属度，即
$${\mu }_{\tilde{A}}:X\to [0,1],x\in X\to {\mu }_{\tilde{A}}(x)\in [0,1]$$
$${\nu }_{\tilde{A}}:X\to [0,1],x\in X\to {\nu }_{\tilde{A}}(x)\in [0,1]$$
??且满足
$$0\le {\mu }_{\tilde{A}}(x)+{\nu }_{\tilde{A}}(x)\le 1,x\in X$$
??式中，${\mu }_{\tilde{A}}$和${\nu }_{\tilde{A}}$分别表示支持元素x属于集合$A$的证据所导出的肯定隶属度的下界和反对元素x属于集合$A$的证据所导出的否定隶属度的下界。$X$上所有直觉模糊集的集合记为$F(X)$。

??直觉模糊集可以简记为$\tilde{A}=?x,{\mu }_{\tilde{A}},{\nu }_{\tilde{A}}?$或者$\tilde{A}=?{\mu }_{\tilde{A}},{\nu }_{\tilde{A}}?/x$。

??显然，每一个模糊集$\tilde{A}$对应于下列直觉模糊集：
A ~ = { ? x , μ A ~ ( x ) , 1 ? μ A ~ ( x ) ? ∣ x ∈ X } (2.2) \tilde{A} = \left\{ \left\langle x,\mu_{\tilde{A}}(x),1-\mu_{\tilde{A}}(x)\right\rangle|x \in X \right\}\tag{2.2} A~={?x,μA~?(x),1?μA~?(x)?∣x∈X}(2.2)
??对于任一$x\in X$，称${\pi }_{\tilde{A}}=1?{\mu }_{\tilde{A}}(x)?{\nu }_{\tilde{A}}(x)$为直觉模糊集$\tilde{A}$中元素x的直觉指数（intuitionistic index），它表示元素x对$\tilde{A}$的犹豫度(hesitancy degree)。显然，对于每一个$x\in X$，$0\le {\pi }_{\tilde{A}}\le 1$。特别地，如果
$${\pi }_{\tilde{A}}(x)=1?{\mu }_{\tilde{A}}(x)?[1?{\mu }_{\tilde{A}}]=0,x\in X\text{\hspace{1em}(2.3)}$$
??则直觉模糊集$\tilde{A}$退化为Zadeh的模糊集。因此，Zadeh的模糊集是直觉模糊集的一个特例。

??示例

6个梨属于成熟和不成熟的程度分别为$[(0.6,0.3),(0.7,0.2),(0.6,0.4),(0.5,0.2),(0.7,0.2),(0.8,0.1)]$
其中第1个梨属于成熟的概率为0.6，属于不成熟的概率为0.3

2.2 直觉模糊集运算法则

定义1.8
??设$\tilde{A}$和$\tilde{B}$是论域X上的两个直觉模糊集， A ~ = { ? x , μ A ~ ( x ) , ν A ~ ( x ) ? ∣ x ∈ X } \tilde{A}=\left\{ \left\langle x,\mu_{\tilde{A}}(x),\nu_{\tilde{A}}(x)\right\rangle|x \in X \right\} A~={?x,μA~?(x),νA~?(x)?∣x∈X}， B ~ = { ? x , μ B ~ ( x ) , ν B ~ ( x ) ? ∣ x ∈ X } \tilde{B}=\left\{ \left\langle x,\mu_{\tilde{B}}(x),\nu_{\tilde{B}}(x)\right\rangle|x \in X \right\} B~={?x,μB~?(x),νB~?(x)?∣x∈X}，$\lambda >0$是任意实数，则

??(1)?直觉模糊集的包含关系：$\tilde{A}?\tilde{B}$当且仅当$?x\in X,{\mu }_{\tilde{A}}(x)\le {\mu }_{\tilde{B}}$且${\nu }_{\tilde{A}}(x)\ge {\nu }_{\tilde{B}}$

??(2)?直觉模糊集的相等关系：$\tilde{A}=\tilde{B}$当且仅当$?x\in X,{\mu }_{\tilde{A}}(x)={\mu }_{\tilde{B}}$且${\nu }_{\tilde{A}}(x)={\nu }_{\tilde{B}}$

??(3)?直觉模糊集的补：
( A ~ ) c = { ? x , ν A ~ ( x ) , μ A ~ ( x ) ? ∣ x ∈ X } {(\tilde{A})}^c = \left\{ \left\langle x,\nu_{\tilde{A}}(x),\mu_{\tilde{A}}(x) \right\rangle|x \in X \right\} (A~)c={?x,νA~?(x),μA~?(x)?∣x∈X}

??(4)?直觉模糊集的交：
A ~ ∩ B ~ = { ? x , μ A ~ ( x ) ∧ μ B ~ ( x ) , ν A ~ ( x ) ∨ ν B ~ ( x ) ? ∣ x ∈ X } \tilde{A} \cap \tilde{B} = \left\{ \left\langle x,\mu_{\tilde{A}}(x)\wedge\mu_{\tilde{B}}(x),\nu_{\tilde{A}}(x)\vee\nu_{\tilde{B}}(x) \right\rangle|x \in X \right\} A~∩B~={?x,μA~?(x)∧μB~?(x),νA~?(x)∨νB~?(x)?∣x∈X}
式中，符号“$\wedge$”“$\vee$”分别表示取小或取大算子，即$\min$和$\max$算子。

??(5)?直觉模糊的并：
A ~ ∪ B ~ = { ? x , μ A ~ ( x ) ∨ μ B ~ ( x ) , ν A ~ ( x ) ∧ ν B ~ ( x ) ? ∣ x ∈ X } \tilde{A} \cup \tilde{B} = \left\{ \left\langle x,\mu_{\tilde{A}}(x)\vee\mu_{\tilde{B}}(x),\nu_{\tilde{A}}(x)\wedge\nu_{\tilde{B}}(x) \right\rangle|x \in X \right\} A~∪B~={?x,μA~?(x)∨μB~?(x),νA~?(x)∧νB~?(x)?∣x∈X}

??(6)?直觉模糊集的和：
A ~ + B ~ = { ? x , μ A ~ ( x ) + μ B ~ ( x ) ? μ A ~ ( x ) μ B ~ ( x ) , ν A ~ ( x ) ν B ~ ( x ) ? ∣ x ∈ X } \tilde{A} + \tilde{B} = \left\{ \left\langle x,\mu_{\tilde{A}}(x) + \mu_{\tilde{B}}(x) - \mu_{\tilde{A}}(x)\mu_{\tilde{B}}(x),\nu_{\tilde{A}}(x)\nu_{\tilde{B}}(x) \right\rangle|x \in X \right\} A~+B~={?x,μA~?(x)+μB~?(x)?μA~?(x)μB~?(x),νA~?(x)νB~?(x)?∣x∈X}

??(7)?直觉模糊集的积：
A ~ ? B ~ = { ? x , μ A ~ ( x ) μ B ~ ( x ) , ν A ~ ( x ) + ν B ~ ( x ) ? μ A ~ ( x ) μ B ~ ( x ) ? ∣ x ∈ X } \tilde{A} \centerdot \tilde{B} = \left\{ \left\langle x,\mu_{\tilde{A}}(x) \mu_{\tilde{B}}(x),\nu_{\tilde{A}}(x) + \nu_{\tilde{B}}(x) - \mu_{\tilde{A}}(x)\mu_{\tilde{B}}(x) \right\rangle|x \in X \right\} A~?B~={?x,μA~?(x)μB~?(x),νA~?(x)+νB~?(x)?μA~?(x)μB~?(x)?∣x∈X}

??(8)?直觉模糊集与数的乘积：
$$\lambda \tilde{A}=\left\{?x,1?{(1?{\mu }_{\tilde{A}}(x))}^{\lambda },{({\nu }_{\tilde{A}})}^{\lambda }?|x\in X\right\}$$

??(9)?直觉模糊集的乘方：
$${(\tilde{A})}^{\lambda }=\left\{?x,{({\mu }_{\tilde{A}})}^{\lambda },1?{(1?{\nu }_{\tilde{A}}(x))}^{\lambda }?|x\in X\right\}$$

??截集是直觉模糊集中的一个重要概念，是建立直觉模糊集与清晰集合之间关系的桥梁。

定义1.9
??设 A ~ = { ? x , μ t i l d e A ( x ) , ν A ~ ( x ) ? ∣ x ∈ X } \tilde{A}=\left\{ \left\langle x,\mu_{tilde{A}}(x),\nu_{\tilde{A}}(x) \right\rangle|x \in X \right\} A~={?x,μtildeA?(x),νA~?(x)?∣x∈X}是论域X上的1个直觉模糊集，对任意有序对$?\alpha ,\beta ?$，其中$\alpha \in [0,1]，\beta \in [0,1]$，且$0\le \alpha +\beta \le 1$，称集合
A ~ ? α , β ? = { x ∣ μ A ~ ( x ) ≥ α , ν A ~ ≤ β , x ∈ X } (2.4) {\tilde{A}}_{\left\langle\alpha,\beta\right\rangle = \left\{x|\mu_{\tilde{A}}(x)\geq\alpha,\nu_{\tilde{A}}\leq\beta, x \in X \right\}}\tag{2.4} A~?α,β?={x∣μA~?(x)≥α,νA~?≤β,x∈X}?(2.4)
为直觉模糊集$\tilde{A}$的$?\alpha ,\beta ?$截集（或水平集），$?\alpha ,\beta ?$称为置信水平或置信度。$\alpha =1,\beta =0$时的截集即${\tilde{A}}_{?1,0?}$称为直觉模糊集$\tilde{A}$的核；$\alpha =0,\beta =1$时的截集即${\tilde{A}}_{?0,1?}$称为直觉模糊集$\tilde{A}$的支撑。

??显然，若两个有序对$?{\alpha }_1,{\beta }_1?$核$?{\alpha }_2,{\beta }_2?$满足$?{\alpha }_1,{\beta }_1?\le ?{\alpha }_2,{\beta }_2?$，则有${\tilde{A}}_{?{\alpha }_1,{\beta }_1?}?{\tilde{A}}_{?{\alpha }_2,{\beta }_2?}$。
??类似地，可以定义直觉模糊集的$\alpha$截集核$\beta$截集：
A ~ α = { x ∣ μ A ~ ( x ) ≥ α , x ∈ X } (2.5) {\tilde{A}}_{\alpha}=\left\{x|\mu_{\tilde{A}}(x)\geq\alpha,x \in X \right\}\tag{2.5} A~α?={x∣μA~?(x)≥α,x∈X}(2.5)
A ~ β = { x ∣ ν A ~ ( x ) ≤ β , x ∈ X } (2.6) {\tilde{A}}_{\beta}=\left\{x|\nu_{\tilde{A}}(x)\leq\beta,x \in X \right\}\tag{2.6} A~β?={x∣νA~?(x)≤β,x∈X}(2.6)
其中，$\alpha \in [0,1]，\beta \in [0,1]$。

??由此，可以定义一个新的直觉模糊集：
$$?\alpha ,\beta ?{\tilde{A}}_{?\alpha ,\beta ?}=\left\{?x,\alpha \wedge {\mu }_{{\tilde{A}}_{?\alpha ,\beta ?}}(x),\beta \vee {\nu }_{{\tilde{A}}_{\alpha ,\beta }}(x)?|x\in X\right\}$$
于是直觉模糊集$\tilde{A}$可以用$<?\alpha ,\beta ?$截集（或水平集）表示。

定理1.3
??直觉模糊集$\tilde{A}$可用截集表示为
$$\tilde{A}=\underset{\alpha ,\beta \in D}{?}\left\{?\alpha ,\beta ?{\tilde{A}}_{?\alpha ,\beta ?}\right\}$$

其中， D = { ? μ s , ν s ? ∣ S ∧ M } D = \{ \left\langle \mu_s,\nu_s \right\rangle|S \wedge M\} D={?μs?,νs??∣S∧M}， M = { ? μ i , ν i ? ∣ i = 1 , 2 , . . . , m } M = \{ \left\langle\mu_i, \nu_i\right\rangle | i=1,2,...,m \} M={?μi?,νi??∣i=1,2,...,m}， μ s = ? 1 : ? μ i , ν i ? ∈ S { μ i } \mu_{s}=\bigwedge_{1:\left\langle\mu_{i}, \nu_{i}\right\rangle \in S} \left\{\mu_{i}\right\} μs?=?1:?μi?,νi??∈S?{μi?}， ν s = ∨ i : < μ i , ν i > ∈ S { ν i } {\nu_s} = \underset{i:<\mu_i, \nu_i> \in S} {\vee} \{\nu_{i}\} νs?=i:<μi?,νi?>∈S∨?{νi?}
??定理1.3表明，直觉模糊集$\tilde{A}$可以由若干个清晰的截集（或水平集）表示，它建立了直觉模糊集与清晰集合之间的关系，为利用清晰集合研究直觉模糊集提供了重要基础。

??示例

一箱梨有6个，依次编号为1-6，甲乙分别对每个梨属于成熟和属于不成熟进行评价，得到以下结果：
$A_{甲}=(0,6,0.4),(0.7,0.2),(0.7,0.2),(0.8,0.1),(0.8,0.2),(0.6,0.3)$
$A_{乙}=(0,6,0.3),(0.6,0.3),(0.6,0.2),(0.7,0.2),(0.7,0.2),(0.7,0.2)$

??计算代码（python）如下：

# 注意，第一行表示属于，第二行表示不属于
import numpy as np
A = [[0.6,0.7,0.7,0.8,0.8,0.6],[0.4,0.2,0.2,0.1,0.2,0.3]]
B = [[0.6,0.6,0.6,0.7,0.7,0.7],[0.3,0.3,0.2,0.2,0.2,0.2]]

A = np.array(A)
B = np.array(B)

# 判断A、B之间的包含关系
def A_in_B(A,B):
    label_A_B = np.zeros(A.shape[1])
    label_B_A = np.zeros(A.shape[1])
    shape = A.shape
    for i in range(shape[1]): #每一列对比
        A_belong = A[0][i]
        A_not_belong = A[1][i]
        B_belong = B[0][i]
        B_not_belong = B[1][i]
        if A_belong <= B_belong and A_not_belong >= B_not_belong:
            label_A_B[i] = 1
        elif A_belong >= B_belong and A_not_belong <= B_not_belong:
            label_B_A[i] = 1
    sum_A = label_A_B.sum()
    sum_B = label_B_A.sum()
    if int(sum_A) == A.shape[1]:
        print('A belongs to B!')
    elif int(sum_B) == A.shape[1]:
        print('B belongs to A!')
    else:
        print('No belongs')
# 测试
print('=========包含关系结果==========')           
A_in_B(A,B)
print('\n')

## 求补集
def get_complement(arr):
    return [arr[1],arr[0]]
#测试
A_c = get_complement(A)
B_c = get_complement(B)
print('=========补集计算结果==========')
print("直觉模糊集A的补集为：\n{}".format(A_c))
print("直觉模糊集B的补集为：\n{}".format(B_c))
print('\n')

## 求交集
def get_intersection(A,B):
    intersection = np.zeros(A.shape)
    for i in range(A.shape[1]):
        intersection[0][i] = min(A[0][i],B[0][i])
        intersection[1][i] = max(A[1][i],B[1][i])
    return intersection
# 测试
print('=========交集计算结果==========')
intersection = get_intersection(A,B)
print("直觉模糊集A和直觉模糊集B的交集为：\n{}".format(intersection))
print('\n')

## 求并集
def get_union(A,B):
    union = np.zeros(A.shape)
    for i in range(A.shape[1]):
        union[0][i] = max(A[0][i],B[0][i])
        union[1][i] = max(A[1][i],B[1][i])
    return union
# 测试
print('=========并集计算结果==========')
union = get_union(A,B)
print("直觉模糊集A和直觉模糊集B的并集为：\n{}".format(union))
print('\n')

## 求和
def get_sum(A,B):
    sum_R = np.zeros(A.shape)
    for i in range(A.shape[1]):
        sum_R[0][i] = A[0][i] + B[0][i] - A[0][i] * B[0][i]
        sum_R[1][i] = A[1][i] * B[1][i]
    return sum_R
# 测试
print('=========求和计算结果==========')
sum_r = get_sum(A,B)
print("直觉模糊集A和直觉模糊集B的和为：\n{}".format(sum_r))
print('\n')

## 求积
def get_quadrature(A,B):
    quadrature = np.zeros(A.shape)
    for i in range(A.shape[1]):
        quadrature[0][i] = A[0][i] * B[0][i]
        quadrature[1][i] = A[1][i] + B[1][i] - A[1][i] * B[1][i]
    return quadrature
# 测试
print('=========并积计算结果==========')
quadrature = get_quadrature(A,B)
print("直觉模糊集A和直觉模糊集B的积为：\n{}".format(quadrature))
print('\n')

## 数乘
def get_number_multiplication(arr,factor):
    multi_fator = np.zeros(arr.shape)
    for i in range(arr.shape[1]):
        multi_fator[0][i] = 1 - np.power(1 - arr[0][i],factor)
        multi_fator[1][i] = np.power(arr[1][i],factor)
    return multi_fator
#测试
A_nm = get_number_multiplication(A,0.6)
B_nm = get_number_multiplication(B,0.6)
print('=========数乘计算结果==========')
print("直觉模糊集A的数乘（×0.6）结果为：\n{}".format(A_nm))
print("直觉模糊集B的数乘（×0.6）结果为：\n{}".format(B_nm))
print('\n')

## 乘方
def get_power_number(arr,factor):
    power_factor = np.zeros(arr.shape)
    for i in range(arr.shape[1]):
        power_factor[0][i] = np.power(arr[0][i],factor)
        power_factor[1][i] = 1 - np.power(1 - arr[1][i],factor)
    return power_factor
#测试
A_pn = get_power_number(A,0.6)
B_pn = get_power_number(B,0.6)
print('=========乘方计算结果==========')
print("直觉模糊集A的乘方（×0.6）结果为：\n{}".format(A_pn))
print("直觉模糊集B的乘方（×0.6）结果为：\n{}".format(B_pn))
print('\n')

??运行结果为：

$=========包含关系结果==========$
No belongs
$=========补集计算结果==========$
直觉模糊集A的补集为：
[array([0.4, 0.2, 0.2, 0.1, 0.2, 0.3]), array([0.6, 0.7, 0.7, 0.8, 0.8, 0.6])]
直觉模糊集B的补集为：
[array([0.3, 0.3, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2]), array([0.6, 0.6, 0.6, 0.7, 0.7, 0.7])]
$=========交集计算结果==========$
直觉模糊集A和直觉模糊集B的交集为：
[[0.6 0.6 0.6 0.7 0.7 0.6]
[0.4 0.3 0.2 0.2 0.2 0.3]]
$=========并集计算结果==========$
直觉模糊集A和直觉模糊集B的并集为：
[[0.6 0.7 0.7 0.8 0.8 0.7]
[0.4 0.3 0.2 0.2 0.2 0.3]]
$=========求和计算结果==========$
直觉模糊集A和直觉模糊集B的和为：
[[0.84 0.88 0.88 0.94 0.94 0.88]
[0.12 0.06 0.04 0.02 0.04 0.06]]
$=========并积计算结果==========$
直觉模糊集A和直觉模糊集B的积为：
[[0.36 0.42 0.42 0.56 0.56 0.42]
[0.58 0.44 0.36 0.28 0.36 0.44]]
$=========数乘计算结果==========$
直觉模糊集A的数乘（×0.6）结果为：
[[0.42292004 0.51440663 0.51440663 0.61926921 0.61926921 0.42292004]
[0.57707996 0.38073079 0.38073079 0.25118864 0.38073079 0.48559337]]
直觉模糊集B的数乘（×0.6）结果为：
[[0.42292004 0.42292004 0.42292004 0.51440663 0.51440663 0.51440663]
[0.48559337 0.48559337 0.38073079 0.38073079 0.38073079 0.38073079]]
$=========乘方计算结果==========$
直觉模糊集A的乘方（×0.6）结果为：
[[0.73602192 0.80734438 0.80734438 0.87468966 0.87468966 0.73602192]
[0.26397808 0.12531034 0.12531034 0.06125961 0.12531034 0.19265562]]
直觉模糊集B的乘方（×0.6）结果为：
[[0.73602192 0.73602192 0.73602192 0.80734438 0.80734438 0.80734438]
[0.19265562 0.19265562 0.12531034 0.12531034 0.12531034 0.12531034]]

2.3 直觉模糊集的相似度与距离

??相似度与距离是直觉模糊集理论中的一对对偶概念，用以反映两个直觉模糊集之间的接近程度和差异程度。
定义1.10
??设$s:F(X)\times F(X)\to [0,1]$是一映射，对于任意直觉模糊集$\tilde{A}\in F(X)$，$\tilde{B}\in F(X)$，$\tilde{C}\in F(X)$，称$s(\tilde{A},\tilde{B})$为直觉模糊集$\tilde{A}$与$\tilde{B}$的相似度，如果它满足条件：

??(1)? $0\le s(\tilde{A},\tilde{B})\le 1$；

??(2)? $s(\tilde{A},\tilde{B})=1$当且仅当$\tilde{A}=\tilde{B}$；

??(3)? $s(\tilde{A},\tilde{B})=s(\tilde{B},\tilde{A})$；

??(4)? 如果$\tilde{A}?\tilde{B}?\tilde{C}$，则$s(\tilde{A},\tilde{C})\le s(\tilde{A},\tilde{B})$且$s(\tilde{A},\tilde{C})\le s(\tilde{B},\tilde{C})$。

??根据定义1.10，对于有限论域$X=x_1,x_2,...,x_n$上的两个直觉模糊集$\tilde{A}$与$\tilde{B}$，可构造以下相似度测度。

??闵可夫斯基相似度：
$$s_q(\tilde{A},\tilde{B})=1?{\left[\frac{1}{2n}\sum _{j=1}^n\left[{\left({\mu }_{\tilde{A}}\left(x_j\right)?{\mu }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)\right)}^q+{\left({\nu }_{\tilde{A}}\left(x_j\right)?{\nu }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)\right)}^q+{\left({\pi }_{\tilde{A}}\left(x_j\right)?{\pi }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)\right)}^q\right]\right]}^{1/q}$$

??汉明相似度：
$$s_1(\tilde{A},\tilde{B})=1?[\frac{1}{2n}\sum _{j=1}^n[\left|{\mu }_{\tilde{A}}\left(x_j\right)?{\mu }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)\right|+\mid \left({\nu }_{\tilde{A}}\left(x_j\right)?{\nu }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)|+|\left({\pi }_{\tilde{A}}\left(x_j\right)?{\pi }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)\mid \right]\right]$$

??欧几里得相似度：
$$s_2(\tilde{A},\tilde{B})=1?{\left[\frac{1}{2n}\sum _{j=1}^n\left[{\left({\mu }_{\tilde{A}}\left(x_j\right)?{\mu }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)\right)}^2+{\left({\nu }_{\lambda }\left(x_j\right)?{\nu }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)\right)}^2+{\left({\pi }_{\tilde{A}}\left(x_j\right)?{\pi }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)\right)}^2\right]\right]}^{1/2}$$

??切比雪夫相似度：
$$s_{+\infty }(\tilde{A},\tilde{B})=1?\underset{1?j?n}{\max }\left\{\frac{\left|{\mu }_{\tilde{A}}\left(x_j\right)?{\mu }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)\right|+\left|{\nu }_{\tilde{A}}\left(x_j\right)?{\nu }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)\right|+\left|{\pi }_{\tilde{A}}\left(x_j\right)?{\pi }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)\right|}{2n}\right\}$$

??如果考虑权重因素，可分别得到直觉模糊集$\tilde{A}$与$\tilde{B}$的加权闵可夫斯基相似度${\bar{s}}_q(\tilde{A},\tilde{B})$、加权汉明相似度${\bar{s}}_1(\tilde{A},\tilde{B})$、加权欧几里得相似度${\bar{s}}_2(\tilde{A},\tilde{B})$、加权切比雪夫相似度${\bar{s}}_{+\infty }(\tilde{A},\tilde{B})$等。

定义1.11
??设$d:F(X)\times F(X)\to [0,1]$是一映射，对于任意直觉模糊集$\tilde{A}=F(X)$，$\tilde{B}=F(X)$，$\tilde{C}=F(X)$，称$d(\tilde{A},\tilde{B})$为直觉模糊集$\tilde{A}$与$\tilde{B}$的距离，如果它满足条件：

??(1)? $0?d(\tilde{A},\tilde{B})?1$；

??(2)? $d(\tilde{A},\tilde{B})=0$当且仅当$\tilde{A}=\tilde{B}$；

??(3)? $d(\tilde{A},\tilde{B})=d(\tilde{B},\tilde{A})$；

??(4)? 如果$\tilde{A}?\tilde{B}?\tilde{C}$，则$d(\tilde{A},\tilde{C})?d(\tilde{A},\tilde{B})$且$d(\tilde{A},\tilde{C})?d(\tilde{C},\tilde{B})$。

定理1.4
??如果$s(\tilde{A},\tilde{B})$为直觉模糊集$\tilde{A}$与$\tilde{B}$的归一化距离，则$s(\tilde{A},\tilde{B})=1?d(\tilde{A},\tilde{B})$是$\tilde{A}$与$\tilde{B}$的相似度。

定理1.5
??根据直觉模糊集$\tilde{A}$与$\tilde{B}$的相似度测度公式，对应地可以得到$\tilde{A}$与$\tilde{B}$的归一化距离。

??闵可夫斯基距离：
$$d_q(\tilde{A},\tilde{B})={\left[\frac{1}{2n}\sum _{j=1}^n\left[{\left({\mu }_{\tilde{A}}\left(x_j\right)?{\mu }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)\right)}^q+{\left({\nu }_{\tilde{A}}\left(x_j\right)?{\nu }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)\right)}^q+{\left({\pi }_{\tilde{A}}\left(x_j\right)?{\pi }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)\right)}^q\right]\right]}^{1/q}$$

??汉明距离：
$$d_1(\tilde{A},\tilde{B})=[\frac{1}{2n}\sum _{j=1}^n[\left|{\mu }_{\tilde{A}}\left(x_j\right)?{\mu }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)\right|+\mid \left({\nu }_{\tilde{A}}\left(x_j\right)?{\nu }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)|+|\left({\pi }_{\tilde{A}}\left(x_j\right)?{\pi }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)\mid \right]\right]$$

??欧几里得距离：
$$d_2(\tilde{A},\tilde{B})={\left[\frac{1}{2n}\sum _{j=1}^n\left[{\left({\mu }_{\tilde{A}}\left(x_j\right)?{\mu }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)\right)}^2+{\left({\nu }_{\tilde{A}}\left(x_j\right)?{\nu }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)\right)}^2+{\left({\pi }_{\tilde{A}}\left(x_j\right)?{\pi }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)\right)}^2\right]\right]}^{1/2}$$

??切比雪夫距离：
$$d_{+\infty }(\tilde{A},\tilde{B})=\underset{1?j?n}{\max }\left\{\frac{\left|{\mu }_{\tilde{A}}\left(x_j\right)?{\mu }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)\right|+\left|{\nu }_{\tilde{A}}\left(x_j\right)?{\nu }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)\right|+\left|{\pi }_{\tilde{A}}\left(x_j\right)?{\pi }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)\right|}{2n}\right\}$$

??加权闵可夫斯基距离：
$${\bar{d}}_q(\tilde{A},\tilde{B})={\left[\frac{1}{2}\sum _{j=1}^n{\omega }_j\left[{\left({\mu }_{\tilde{A}}\left(x_j\right)?{\mu }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)\right)}^q+{\left({\nu }_{\tilde{A}}\left(x_j\right)?{\nu }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)\right)}^q+{\left({\pi }_{\tilde{A}}\left(x_j\right)?{\pi }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)\right)}^q\right]\right]}^{1/q}$$

??加权汉明距离：
$${\bar{d}}_1(\tilde{A},\tilde{B})=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^n{\omega }_j[\left|{\mu }_{\tilde{A}}\left(x_j\right)?{\mu }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)\right|+\mid ({\nu }_{\tilde{A}}\left(x_j\right)?{\nu }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)|+|\left({\pi }_{\tilde{A}}\left(x_j\right)?{\pi }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)\mid \right]$$

??加权欧几里得距离：
$${\bar{d}}_2(\tilde{A},\tilde{B})={\left[\frac{1}{2}\sum _{j=1}^n{\omega }_j\left[{\left({\mu }_{\lambda }\left(x_j\right)?{\mu }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)\right)}^2+{\left({\nu }_{\tilde{A}}\left(x_j\right)?{\nu }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)\right)}^2+{\left({\pi }_{\tilde{A}}\left(x_j\right)?{\pi }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)\right)}^2\right]\right]}^{1/2}$$

??加权切比雪夫距离：
$${\bar{d}}_{+\infty }(\tilde{A},\tilde{B})=\underset{1?j?n}{\max }\left\{\frac{{\omega }_j\left(\left|{\mu }_{\tilde{A}}\left(x_j\right)?{\mu }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)\right|+\left|{\nu }_{\tilde{\lambda }}\left(x_j\right)?{\nu }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)\right|+\left|{\pi }_{\lambda }\left(x_j\right)?{\pi }_{\tilde{B}}\left(x_j\right)\right|\right)}{2}\right\}$$

??计算代码（python）如下：

## 相似度或距离计算
# 注意，第一行表示属于，第二行表示不属于
import numpy as np

A = [[0.6,0.7,0.7,0.8,0.8,0.6],[0.4,0.2,0.2,0.1,0.2,0.3]]
B = [[0.6,0.6,0.6,0.7,0.7,0.7],[0.3,0.3,0.2,0.2,0.2,0.2]]

A = np.array(A)
B = np.array(B)

def get_distance(arr_A,arr_B,dist_type,q_value=0):
    # 闵可夫斯基距离
    if dist_type == 'q':
        temp = 0
        for i in range(arr_A.shape[1]):
            temp += np.power(arr_A[0][i] - arr_B[0][i],q_value) + \
                    np.power(arr_A[1][i] - arr_B[1][i],q_value) + \
                    np.power(arr_B[0][i] + arr_B[1][i] - arr_A[0][i] - arr_A[1][i],q_value)
        return np.power(temp/(2*arr_A.shape[1]),1/q_value)
    # 汉明距离
    if dist_type == '1':
        temp = 0
        for i in range(arr_A.shape[1]):
            temp += np.abs(arr_A[0][i] - arr_B[0][i]) + \
                    np.abs(arr_A[1][i] - arr_B[1][i]) + \
                    np.abs(arr_B[0][i] + arr_B[1][i] - arr_A[0][i] - arr_A[1][i])
        return temp/(2*arr_A.shape[1])
    # 欧几里得距离
    if dist_type == '2':
        temp = 0
        for i in range(arr_A.shape[1]):
            temp += np.power(arr_A[0][i] - arr_B[0][i],2) + \
                    np.power(arr_A[1][i] - arr_B[1][i],2) + \
                    np.power(arr_B[0][i] + arr_B[1][i] - arr_A[0][i] - arr_A[1][i],2)
        return np.power(temp/(2*arr_A.shape[1]),1/2)
    # 切比雪夫距离
    if dist_type == 'infty':
        temp_max = 0
        for i in range(arr_A.shape[1]):
            value = np.abs(arr_A[0][i] - arr_B[0][i]) + \
                    np.abs(arr_A[1][i] - arr_B[1][i]) + \
                    np.abs(arr_B[0][i] + arr_B[1][i] - arr_A[0][i] - arr_A[1][i])
            if value/(2*arr_A.shape[1]) > temp_max:
                temp_max = value/(2*arr_A.shape[1])
        return temp_max
def get_similarity(arr_A,arr_B,sim_type,q_value=0):
    return 1 - get_distance(arr_A,arr_B,sim_type,q_value)

# 测试
print('=========闵可夫斯基距离与相似度==========')
d_q = get_distance(A,B,'q',q_value=5)
print("直觉模糊集A和直觉模糊集B之间的闵可夫斯基距离为：{}\t相似度为：{}".format(d_q,1-d_q))
print('\n')
print('=========汉明距离与相似度==========')
d_1 = get_distance(A,B,'1')
print("直觉模糊集A和直觉模糊集B之间的汉明距离为：{}\t相似度为：{}".format(d_1,1-d_1))
print('\n')
print('=========欧几里得距离与相似度==========')
d_2 = get_distance(A,B,'2')
print("直觉模糊集A和直觉模糊集B之间的欧几里得距离为：{}\t相似度为：{}".format(d_2,1-d_2))
print('\n')
print('=========切比雪夫距离与相似度==========')
d_infty = get_distance(A,B,'infty')
print("直觉模糊集A和直觉模糊集B之间的切比雪夫距离为：{}\t相似度为：{}".format(d_infty,1-d_infty))
print('\n')

??计算结果如下：

$=========闵可夫斯基距离与相似度==========$
直觉模糊集A和直觉模糊集B之间的闵可夫斯基距离为：6.464989264213939e-05 相似度为：0.9999353501073579
$=========汉明距离与相似度==========$
直觉模糊集A和直觉模糊集B之间的汉明距离为：0.10000000000000003 相似度为：0.8999999999999999
$=========欧几里得距离与相似度==========$
直觉模糊集A和直觉模糊集B之间的欧几里得距离为：0.10000000000000002 相似度为：0.9
$=========切比雪夫距离与相似度==========$
直觉模糊集A和直觉模糊集B之间的切比雪夫距离为：0.016666666666666687 相似度为：0.9833333333333333