[数据结构与算法]【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( 卷积 与 “ 线性常系数差分方程 “ | 使用 matlab 求解 “ 线性常系数差分方程 “ )

一、卷积 与 " 线性常系数差分方程 "

" 线性常系数差分方程 " 不能使用 卷积函数 conv 函数进行求解 , 因为卷积的右侧没有 $y(n)$ , 卷积公式如下 :

$$y(n)=\sum _{m=?\infty }^{+\infty }x(m)h(n?m)=x(n)?h(n)$$

而 " 线性常系数差分方程 " 如下 :

$$y(n)=\sum _{i=0}^M{b}_{i}x(n?i)?\sum _{i=1}^N{a}_{i}y(n?i)n\ge M$$

在 " 线性常系数差分方程 " 公式的右侧比 卷积 公式中 , 多了一个 ${\sum }_{i=1}^N{a}_{i}y(n?i)$ 项 , 其中有 $y(n)$ 序列 , 这样就无法使用 conv 卷积函数求解 " 线性常系数差分方程 " ;

二、使用 matlab 求解 " 线性常系数差分方程 "

matlab 中 , 使用 filter 函数, 求解 " 线性常系数差分方程 " ;

参考文档 :

• filter 函数 : https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/filter.html
• filtic 函数 : https://ww2.mathworks.cn/help/signal/ref/filtic.html

filter 函数语法如下 :

yn = filter(B, A, xn, xi)
xi = filtic(B, A, ys, xs)

" 线性常系数差分方程 " 公式如下 :

$$y(n)=\sum _{i=0}^M{b}_{i}x(n?i)?\sum _{i=1}^N{a}_{i}y(n?i)n\ge M$$

matlab 中的 filter 函数中的参数 与 " 线性常系数差分方程 " 公式项的对应关系 :

① B 参数 : filter 函数中的 B 向量

$$B=[b_0,b_1,?,b_M]$$

就是公式中的 $b_i$ , 注意 $i$ 范围是 $[0,M]$ ;

② A 参数 : filter 函数中的 A 向量

$$A=[a_1,a_2,?,a_N]$$

就是公式中的 $a_i$ , 注意 $i$ 范围是 $[1,N]$ ;

③ xn 参数 : 输入序列 对应的 向量 ;

④ xi 参数 : 该参数 与 ys 和 xs 条件有关 , ys 和 xs 是初始条件向量 , 分别是 :

$$y_s=[y(?1),y(?2),?,y(?N)]$$

$$x_s=[x(?1),x(?2),?,x(?N)]$$

xi 是通过 filtic 函数 计算出来的 , 需要传入 $A,B$ 向量 , 和 ys 和 xs 条件 ;