[数据结构与算法]【模拟赛】排队（动态规划）

题面

题解

我们令 $d(i)$ 为 $i$ 位置前比 $a_i$ 大的数个数，我们想要的就是 ${\sum }_{i=1}^{n}d(i)$ 。

然而我们只能得到 ${\sum }_{i=1}^n\max (i?a_i,0)$ 。

但是不难发现 $d(i)\ge \max (i?a_i,0)$ 。

所以我们要让两个求和相等，就必须让每个位置的 $d(i)=\max (i?a_i,0)$ 。把这个条件翻译一下，就是说，每个数前面要么不存在比它大的数，要么存在所有比它小的数。

我们可以考虑从左往右向排列中填数，那么每次只有两种选择，其一是填入比最大值大的一个数，其二是填入 前缀集合 ∪ { 0 } \cup\{0\} ∪{0} 的 $\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{x}$ ，可以利用这个方法判断前 $M$ 个是否合法。令 $dp[i][j]$ 表示填了第 $i$ 个数，最大值为 $j$ 的方案数，那么
$$\begin{gathered} dp[i][j]=0(j<i) \\ dp[i][j]=dp[i?1][j]+\sum _{k<j}dp[i?1][k] \end{gathered}$$

这样其实不好做，我们令 $sum[i][j]={\sum }_{k=1}^{j}dp[i][k]$ ，那么
$$\begin{gathered} sum[i][j]=sum[i][j?1]+(sum[i?1][j]?sum[i?1][j?1])+sum[i?1][j?1] \\ =sum[i][j?1]+sum[i?1][j] \end{gathered}$$

最后这个式子非常美观，以至于很容易想到网格图上行走。
$$sum[x][y]\to \{\begin{array}{l}sum[x+1][y]\\ sum[x][y+1]\end{array}$$

我们把前 $M$ 个判断后，可以得到最大值 $mx$ ，那么最终的答案就是从 $(M,mx)$ 右走或上走走到 $(N,N)$ ，中途不越过 $x=y$ （保持 $y\ge x$）的方案数。用两个组合数就好了：
$$C(2N?M?mx,N?M)?C(2N?M?mx,N?M+1)$$

时间复杂度 $O(对10^5的嘲讽)$ 。

CODE

#include<map>
#include<set>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<random>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 100005
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define ENDL putchar('\n')
#define DB double
#define lowbit(x) (-(x) & (x))
#define FI first
#define SE second
int xchar() {
	static const int maxn = 1000000;
	static char b[maxn];
	static int pos = 0,len = 0;
	if(pos == len) pos = 0,len = fread(b,1,maxn,stdin);
	if(pos == len) return -1;
	return b[pos ++];
}
//#define getchar() xchar()
LL read() {
	LL f = 1,x = 0;int s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s<0)return -1;if(s=='-')f=-f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x = (x<<1) + (x<<3) + (s^48);s = getchar();}
	return f*x;
}
void putpos(LL x) {if(!x)return ;putpos(x/10);putchar((x%10)^48);}
void putnum(LL x) {
	if(!x) {putchar('0');return ;}
	if(x<0) putchar('-'),x = -x;
	return putpos(x);
}
void AIput(LL x,int c) {putnum(x);putchar(c);}

const int MOD = 1000000007;
int n,m,s,o,k;
int fac[MAXN<<1],inv[MAXN<<1],invf[MAXN<<1];
int C(int n,int m) {
	if(m < 0 || m > n) return 0;
	return fac[n] *1ll* invf[n-m] % MOD * invf[m] % MOD;
}
int a[MAXN];
int c[MAXN];
void addc(int x,int y) {while(x<=n)c[x]+=y,x+=lowbit(x);}
int sum(int x) {int s=0;while(x)s+=c[x],x-=lowbit(x);return s;}
int main() {
	freopen("queue.in","r",stdin);
	freopen("queue.out","w",stdout);
	n = read();m = read();
	fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=invf[0]=invf[1]=1;
	for(int i = 2;i <= n*2;i ++) {
		fac[i] = fac[i-1] *1ll* i % MOD;
		inv[i] = (MOD - inv[MOD%i]) *1ll* (MOD/i) % MOD;
		invf[i] = invf[i-1] *1ll* inv[i] % MOD;
	}
	int mx = 0,flag = 1;
	for(int i = 1;i <= m;i ++) {
		a[i] = read();
		mx = max(mx,a[i]);
		addc(a[i],1);
		if(a[i] != mx) {
			if(sum(a[i]) != a[i]) flag = 0;
		}
	}
	if(!flag) return printf("0\n"),0;
	int rr = n-m,cc = n-mx;
	int ans = (C(rr+cc,rr) +MOD- C(rr+cc,rr+1)) % MOD;
	AIput(ans,'\n');
	return 0;
}