[数据结构与算法] 【高等数学笔记】二元函数连续、可微、偏导数存在、偏导数连续、任意方向导数存在的关系

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[数据结构与算法]【高等数学笔记】二元函数连续、可微、偏导数存在、偏导数连续、任意方向导数存在的关系

一、连续，偏导数不一定存在

这个很容易理解，跟一元函数一样。
例如 $f (x, y) = ∣ x ∣$ ，在 $(0, 0)$ 连续，但 $f_x(0,0)=\frac{\text{d}|x|}{\text{d}x}$ 不存在。
再例如， $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ ，其在 $(0, 0)$ 点显然连续，但 $f_x(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{|x|}{x}$ 不存在， $f_y(0,0)$ 同理也不存在。
用Geogebra画图可以看出这个函数的图像是锥形，在 $(0, 0)$ 点是尖的：
在这里插入图片描述

二、偏导数存在，不一定连续

这个性质跟一元函数有很大差异。对于二元函数，偏导数存在是很弱的条件，甚至连极限都有可能不存在。
例子： $f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2},&x^2+y^2\ne0\\0,&x^2+y^2=0\end{cases}$ 它在 $(0, 0)$ 点的两个偏导数都存在： $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$ 但是它在 $(0, 0)$ 点的极限不存在，以 $y = k x$ 的路径逼近 $(0, 0)$ 得 $\lim_{x\to0,y=kx}\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{k}{1+k^2}$ 随着 $k$ 的变化而变化，所以 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$ 不存在。
画图看出这个函数在 $(0, 0)$ 点呈现一个很奇怪的样子：
在这里插入图片描述

三、可微，一定连续、偏导数存在

定理1（可微的必要条件） 设函数 $z = f (x, y)$ 在 $x_0,y_0)$ 处可微，则
(1) $f$ 在 $x_0,y_0)$ 处连续；
(2) $f$ 在 $x_0,y_0)$ 处的两个偏导数都存在，且有 $\text{d}f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\text{d}x+f_y(x_0,y_0)\text{d}y$ 。
证明：
(1) 当 $f$ 在 $x_0,y_0)$ 处可微时，存在常数 $a_1,a_2$ 使得 $\Delta z=a_1\Delta x+a_2\Delta y+o(\rho)$ ，其中 $\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ 。令 $\rho\to0$ ，即 $\Delta x\to0$ 且 $\Delta y\to0$ ，得 $\lim_{\rho\to0}\Delta z=0$ 或 $\lim_{\Delta x\to0,\Delta y\to0}f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)=\lim_{\Delta x\to0,\Delta y\to0}[f(x_0,y_0)+\Delta z]=f(x_0,y_0)$ 因此 $f$ 在 $x_0,y_0)$ 处连续。
(2) 由可微的定义， $f$ 满足 $f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=a_1\Delta x+a_2\Delta y+o(\rho)$ 取 $\Delta y=0$ ，则有 $\rho=|\Delta x|$ ，上式变为 $f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)=a_1+o(|\Delta x|)$ 两边除以 $\Delta x$ 并取极限得 $\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\left[a_1+\frac{o(|\Delta x|)}{\Delta x}\right]=a_1$ 即 $f_x(x_0,y_0)=a_1$ 。
同理，取 $\Delta x=0$ 得 $f_y(x_0,y_0)=a_2$ 。?

从这里我们可以看出，可微是很强得条件，远比偏导数存在要强。

然而，这个条件仅仅是必要条件。我们举一个例子 $f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}},&x^2+y^2\ne0\\0,&x^2+y^2=0\end{cases}$ 它在 $(0, 0)$ 点连续，因为 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}|f(x,y)-f(0,0)|=\lim_{(x,y)\to(0,0)}|f(x,y)|\le\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2+y^2}{2\sqrt{x^2+y^2}}=0$ 两个偏导数也存在： $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$ 但不可微。因为如果可微，那么 $\Delta f-f_x(0,0)\Delta x-f_y(0,0)\Delta y=o(\rho)$ 。然而 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\Delta f}{\rho}=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}$ 不存在。也就是说，满足定理1的条件不一定可微。
其函数图像如下：
在这里插入图片描述

四、偏导数连续，一定可微

定理2（可微的充分条件） 设函数 $z = f (x, y)$ 在点 $x_0,y_0)$ 得的某个邻域内有定义，若 $f (x, y)$ 的两个偏导数均在点 $x_0,y_0)$ 处连续，则该函数在点 $x_0,y_0)$ 处可微。
证明： $\begin{aligned}\Delta z&=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\\&=[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)]+[f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]\end{aligned}$ 右边的每一项都是一元函数的改变量，故可以采用拉格朗日中值定理（ $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$ ），即存在 $\theta_1,\theta_2\in(0,1)$ 使得 $\Delta z=f_x(x_0+\theta_1\Delta x,y_0+\Delta y)\Delta x+f_y(x_0,y_0+\theta_2\Delta y)\Delta y$ 由于 $f_x(x,y)$ 在 $x_0,y_0)$ 连续，取极限 $\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\to0$ 得 $\lim_{\rho\to0}f_x(x_0+\theta_1\Delta x,y_0+\Delta y)=f_x(x_0,y_0)$ 因此有 $f_x(x_0+\theta_1\Delta x,y_0+\Delta y)=f_x(x_0,y_0)+\alpha_1(\rho)$ 同理有 $f_y(x_0,y_0+\theta_2\Delta y)=f(x_0,y_0)+\alpha_2(\rho)$ 其中 $\alpha_{1,2}( \rho)$ 是 $\rho$ 的高阶无穷小。整理得 $\begin{aligned}\Delta z&=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\\&=[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)]+[f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]\\&=[f_x(x_0,y_0)+\alpha_1(\rho)]\Delta x+[f(x_0,y_0)+\alpha_2(\rho)]\Delta y\\&=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y+\alpha_1(\rho)\Delta x+\alpha_2(\rho)\Delta y\end{aligned}$ 只需证明后面两项是 $\rho$ 的高阶无穷小。而 $\Delta x\le\rho$ ， $\Delta y\le\rho$ ，所以 $|\alpha_1(\rho)\Delta x+\alpha_2(\rho)\Delta y|\le|\alpha_1(\rho)+\alpha_2(\rho)|\rho$ ， $\lim_{\rho\to0}\left|\frac{\alpha_1(\rho)\Delta x+\alpha_2(\rho)\Delta y}{\rho}\right|=\lim_{\rho\to0}\alpha_1(\rho)+\alpha_2(\rho)=o(\rho)$ 于是 $\alpha_1(\rho)\Delta x+\alpha_2(\rho)\Delta y$ 是 $\rho$ 的高阶无穷小。因此有 $\Delta z=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y+o(\rho)$ 即 $f$ 在 $x_0,y_0)$ 处可微。?

注意：这只是充分条件。有些函数，例如 $f(x,y)=\begin{cases}(x^2+y^2)\sin{\frac{1}{x^2+y^2}},&x^2+y^2\ne0\\0,&x^2+y^2=0\end{cases}$ 它在 $(0, 0)$ 处可微，但 $f_x(x,y)$ 与 $f_y(x,y)$ 在 $(0, 0)$ 处间断。

五、偏导数连续，函数一定连续

这是定理1和定理2结合起来后一个很显然的推论。

六、可微，则沿任一方向的方向导数存在

定理3 若 $f (x, y)$ 在点 $x_0,y_0)$ 可微，则函数 $f$ 在点 $x_0,y_0)$ 沿任意 $\bm l$ 方向的方向导数均存在，且 $\left.\frac{\partial f}{\partial\bm l}\right|_{x_0,y_0}=f_x(x_0,y_0)\cos\alpha+f_y(x_0,y_0)\cos\beta$ 其中 $\bm l$ 方向上的单位向量是 $\bm e_l=(\cos\alpha,\cos\beta)$ 。
证明：由定理1，当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，有 $f(x,y)-f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y+o(\rho)$ 令 $(x,y)=(x_0,y_0)+t\bm e_l=(x_0,y_0)+(t\cos\alpha,t\cos\beta)$ ，即 $\Delta x=t\cos\alpha,\Delta y=t\cos\beta,|t|=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ ，可得 $f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)t\cos\alpha+f_y(x_0,y_0)t\cos\beta+o(\rho)$ 由方向导数的定义有 $\begin{aligned}\left.\frac{\partial f}{\partial\bm l}\right|_{x_0,y_0}&=\lim_{t\to0}\frac{f(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta)-f(x_0,y_0)}{t}\\&=\lim_{t\to0}\frac{f_x(x_0,y_0)t\cos\alpha+f_y(x_0,y_0)t\cos\beta+o(|t|)}{t}\\&=f_x(x_0,y_0)\cos\alpha+f_y(x_0,y_0)\cos\beta\end{aligned}$ 证毕。?