[数据结构与算法]动态规划——股票问题

动态规划专题——股票问题

虽然前两题用贪心可以做，但是本篇文章全部使用动态规划来解决问题，比较具有体系。

121. 买卖股票的最佳时机

?

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动规五部曲：

?第一步：确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最多现金?

dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金

第二步：确定递推公式

如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来

• 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
• 第i天买入股票，所得现金就是买入今天的股票后所得现金即：-prices[i]

那么dp[i][0]应该选所得现金最大的，所以dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);

如果第i天不持有股票即dp[i][1]， 也可以由两个状态推出来

• 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
• 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票佳价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]

同样dp[i][1]取最大的，dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);

第三步：dp数组如何初始化

由递推公式 dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]); 和 dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);可以看出其基础都是要从dp[0][0]和dp[0][1]推导出来。

那么dp[0][0]表示第0天持有股票，此时的持有股票就一定是买入股票了，因为不可能有前一天推出来，所以dp[0][0] = -prices[0];

dp[0][1]表示第0天不持有股票，不持有股票那么现金就是0，所以dp[0][1] = 0;

第四步：确定遍历顺序

从递推公式可以看出dp[i]都是有dp[i - 1]推导出来的，那么一定是从前向后遍历。

第五步：举例推导dp数组

在此就不举例了

代码如下：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int[][] dp = new int[prices.length][2];
        dp[0][0] = -prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for(int i = 1 ; i < prices.length ; i++){
            dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0],-prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i]);
        }
        return dp[prices.length-1][1];
    }
}

122. 买卖股票的最佳时机 II?

?

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分析：?

从题意上面来看，股票问题Ⅱ 和 股票问题Ⅰ的区别在于我们可以多次买卖股票

和Ⅰ相比只有递推公式的区别

所以我们重点讲一讲递推公式。

如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来

• 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
• 第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]

在来看看如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况， 依然可以由两个状态推出来

• 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
• 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票佳价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]

代码如下：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int[][] dp = new int[prices.length][2];
        dp[0][0] = -prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for(int i = 1 ; i < prices.length ; i++){
            dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i]);
        }
        return dp[prices.length-1][1];
    }
}

123. 买卖股票的最佳时机 III

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?

思路：和股票Ⅰ和股票Ⅱ相比，限制了买卖次数，必须为两次，所以dp数组和动态转移方程就会有变化。

第一步：确定dp数组以及下标的含义

一天一共就有五个状态，

1. 没有操作
2. 第一次买入
3. 第一次卖出
4. 第二次买入
5. 第二次卖出

dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。

第二步：确定递推公式

需要注意：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是很多同学容易陷入的误区。

达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：

• 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]

那么dp[i][1]究竟选 dp[i-1][0] - prices[i]，还是dp[i - 1][1]呢？

一定是选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);

同理dp[i][2]也有两个操作：

• 操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]

所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])

同理可推出剩下状态部分：

dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);

dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);

第三步：dp数组如何初始化

第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;

第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];

第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？

首先卖出的操作一定是收获利润，整个股票买卖最差情况也就是没有盈利即全程无操作现金为0，

从递推公式中可以看出每次是取最大值，那么既然是收获利润如果比0还小了就没有必要收获这个利润了。

所以dp[0][2] = 0;

第0天第二次买入操作，初始值应该是多少呢？应该不少同学疑惑，第一次还没买入呢，怎么初始化第二次买入呢？

第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后在买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。

所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];

同理第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;

第四步：确定遍历顺序

从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。

第五步：举例推导dp数组

?省略

代码如下：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int dp[][] = new int[prices.length][5];
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0];
        dp[0][2] = 0;
        dp[0][3] = -prices[0];
        dp[0][4] = 0;
        for(int i = 1 ; i < prices.length ; i++){
            dp[i][0] = 0;
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1],-prices[i]);
            dp[i][2] = Math.max(dp[i-1][2],dp[i-1][1]+prices[i]);
            dp[i][3] = Math.max(dp[i-1][3],dp[i-1][2]-prices[i]);
            dp[i][4] = Math.max(dp[i-1][4],dp[i-1][3]+prices[i]);
        }
        return dp[prices.length-1][4];
    }
}

188. 买卖股票的最佳时机 IV?

?

分析：如果认真看过上面第三题，会发现其实就是把2次变成了k次，这个时候我们开二维数组的大小就应该从 5 变成 2*k + 1 因为每次都涉及一次买入和卖出。所以具体就是给股票Ⅲ的初始化操作和递推加上for循环，直接看代码即可。?

?代码如下：

class Solution {
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        if(prices.length <= 1){
            return 0;
        }
        int[][] dp = new int[prices.length][2*k+1];
        int[][] a = new int[1][2];
        dp[0][0] = 0;
        for(int i = 1 ; i < 2*k+1 ; i++){
            if(i % 2 == 1){
                dp[0][i] = -prices[0];
            }else{
                dp[0][i] = 0;
            }
        }

        for(int i = 1 ; i < prices.length ; i++){
            for(int j = 1 ; j < 2*k+1 ; j++){
                if(j % 2 == 1){
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]-prices[i]);
                }else{
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]+prices[i]);
                }
            }
        }
        return dp[prices.length-1][2*k];
    }
}

309. 最佳买卖股票时机含冷冻期

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分析：这道题我感觉应该是一道困难题，因为不太好分析各个状态，加上冷冻期后。

?

第一步：确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j]，第i天状态为j，所剩的最多现金为dp[i][j]。

• 状态一：买入股票状态（今天买入股票，或者是之前就买入了股票然后没有操作）
• 卖出股票状态，这里就有两种卖出股票状态
  • 状态二：两天前就卖出了股票，度过了冷冻期，一直没操作，今天保持卖出股票状态（手上没有持有股票，并且还不是当天卖出的）
  • 状态三：今天卖出了股票
• 状态四：今天为冷冻期状态，但冷冻期状态不可持续，只有一天！

j的状态为：

• 0：状态一
• 1：状态二
• 2：状态三
• 3：状态四

注意这里的每一个状态，例如状态一，是买入股票状态并不是说今天已经就买入股票，而是说保存买入股票的状态即：可能是前几天买入的，之后一直没操作，所以保持买入股票的状态。

第二步：确定递推公式

达到买入股票状态（状态一）即：dp[i][0]，有两个具体操作：

• 操作一：前一天就是持有股票状态（状态一），dp[i][0] = dp[i - 1][0]
• 操作二：今天买入了，有两种情况
  • 前一天是冷冻期（状态四），dp[i - 1][3] - prices[i]
  • 前一天是保持卖出股票状态（状态二），dp[i - 1][1] - prices[i]

所以操作二取最大值，即：max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][1]) - prices[i]

那么dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][1]) - prices[i]);

达到保持卖出股票状态（状态二）即：dp[i][1]，有两个具体操作：

• 操作一：前一天就是状态二
• 操作二：前一天是冷冻期（状态四）

dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);

达到今天就卖出股票状态（状态三），即：dp[i][2] ，只有一个操作：

• 操作一：昨天一定是买入股票状态（状态一），今天卖出

即：dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];

达到冷冻期状态（状态四），即：dp[i][3]，只有一个操作：

• 操作一：昨天卖出了股票（状态三）

dp[i][3] = dp[i - 1][2];

第三步：dp数组如何初始化

这里主要讨论一下第0天如何初始化。

如果是持有股票状态（状态一）那么：dp[0][0] = -prices[0]，买入股票所剩现金为负数。

保持卖出股票状态（状态二），第0天没有卖出dp[0][1]初始化为0就行，

今天卖出了股票（状态三），同样dp[0][2]初始化为0，因为最少收益就是0，绝不会是负数。

同理dp[0][3]也初始为0。

第四步：确定遍历顺序

从递归公式上可以看出，dp[i] 依赖于 dp[i-1]，所以是从前向后遍历。

第五步：手动模拟

免了免了，哈哈

代码如下：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int dp[][] = new int[prices.length][4];
        // 0 买入 1 两天前就卖出了股票，度过了冷冻期，一直没操作，今天保持卖出股票状态 2 今天卖出股票 3 冷冻期
        dp[0][0] = -prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        dp[0][2] = 0;
        dp[0][3] = 0;
        for(int i = 1 ; i < prices.length ; i++){
            dp[i][0] = Math.max(Math.max(dp[i-1][3]-prices[i],dp[i-1][0]),(dp[i-1][1]-prices[i]));
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][3]);
            dp[i][2] = dp[i-1][0]+prices[i];
            dp[i][3] = dp[i-1][2];
        }
        return Math.max(Math.max(dp[prices.length-1][1],dp[prices.length-1][2]),dp[prices.length-1][3]);
    }
}

714. 买卖股票的最佳时机含手续费

?

分析：此题与股票Ⅱ相比，仅仅是加了一个手续费，所以仅仅需要在股票Ⅱ的递推公式上，买入时 总金额减股票价格的同时再减去一个手续费即可。

代码如下：

?

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
        int[][] dp = new int[prices.length][2];
        dp[0][0] = -prices[0]-fee;
        dp[0][1] = 0;
        for(int i = 1 ; i < prices.length ; i++){
            dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i]-fee);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i]);
        }
        return dp[prices.length-1][1];
    }
}

总结：股票问题还是蛮恶心的，理解起来，就算当天学会了，之后还会忘，还是需要多反复，希望对大家有帮助。