[数据结构与算法]数据结构与算法之美（七）跳表：链表的二分查找

介绍

跳表是一种链表加多级索引的动态数据结构，具体来说是每两个结点提取一个结点到上一级作为索引，如下图所示：

所以跳表相对于普通单链表，查找一个结点所需要遍历的结点个数减少了，也即查找效率提高了。跳表是一种支持二分查找的链表，可以快速地插入、删除、查找，甚至可以替代红黑树。Redis里的有序集合就是用跳表来实现的。

复杂度分析

时间复杂度

在跳表中查找、插入、删除的时间复杂度都是$O(logn)$。

1.查找的时间复杂度推导

• 查多少层：对于结点个数为n的链表，会有多少级索引？第一级有$\frac{n}{2}$个结点，第二级有$\frac{n}{2^2}$个结点，第k级有$\frac{n}{2^k}$个结点，最后一级是2个结点，所以通过$\frac{n}{2^k}=2$，得到最后一级$k=lo{g}_{2}n?1$。如果把原始链表也算作一级，那么最后一级就是$lo{g}_{2}n$，所以一共查$lo{g}_{2}n$层就能查到
• 每层内查几次：最多3次。因为上一层决定了所查找的数在结点j和j+1之间，才会下到下一层去找，而上一层的结点j和j+1之间对应到下一层，只有三个结点
• 总结：跳表的查找时间复杂度为$O(3lo{g}_{2}n)=O(logn)$

2.插入的时间复杂度推导

单链表的插入：查找$O(n)$ + 插入$O(1)$
跳表的插入：查找$O(logn)$ + 插入$O(1)$

3.删除的时间复杂度推导

查找$O(logn)$+删除$O(1)$，删除时要注意：记住前驱结点、如果索引中有也要删除索引中的

空间复杂度

跳表的空间复杂度为$O(n)$，具体推导如下：

• 在分析时间复杂度时已经提到，对于结点个数为n的链表，会有$lo{g}_{2}n?1$层索引，各层索引的结点数分别是$\frac{n}{2}$，$\frac{n}{2^2}$，…，$\frac{n}{2^k}$，…，2这样的等比数列
• 根据等比数列求和公式：
  
  得到跳表的空间复杂度为$O(n)$：
  

跳表的动态更新

跳表是一种动态数据结构，就是指它的索引是要动态更新的，特别是当插入了很多个结点、或者删除了一些结点时，可能会出现两个索引结点之间的下一层结点很多的情况，造成复杂度退化。

跳表通过随机函数来维护，当往跳表中插入数据的时候，可以选择同时将这个数据插入到部分索引层中，具体插入到从哪一级开始的索引是由一个随机函数生成的。