[数据结构与算法] 叉积定义&从线性变换、对偶性角度看叉积（视频见b站）

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[数据结构与算法]叉积定义&从线性变换、对偶性角度看叉积（视频见b站）

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【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集_哔哩哔哩_bilibilihttps://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E?p=11及

【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集_哔哩哔哩_bilibilihttps://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E?p=12

二维向量的叉积(cross product)

方向看 $i\times j=+1$

$\vec{v}\times \vec{w}=\begin{vmatrix} \begin{bmatrix} \vec{v} & \vec{w} \end{bmatrix} \end{vmatrix}=\pm S$ （S为平行四边形面积）

三维向量的叉积(cross product)

? $\vec{v}\times \vec{w}=\vec{p}$ ，其中 $\vec{p}$ 的长度为 $\vec{v},\vec{w}$ 构成面积的大小，方向满足右手准则（食指为 $\vec{v}$ ，中指为 $\vec{w}$ ，大拇指为 $\vec{p}$ ）

若直接从计算出发

$\begin{bmatrix} v_{1}\\v_{2} \\ v_{3} \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} w_{1}\\w_{2} \\ w_{3} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} v_{2}\cdot w_{3}-w_{2} \cdot v_{3} \\ v_{3}\cdot w_{1}- w_{3}\cdot v_{1} \\ v_{1}\cdot w_{2} -w_{1}\cdot v_{2} \end{bmatrix}=\begin{vmatrix} \begin{bmatrix} i &v_{1} & w_{1}\\ j & v_{2} &w_{2} \\ k & v_{3} & w_{3} \end{bmatrix} \end{vmatrix} =i(v_{2}\cdot w_{3}-w_{2} \cdot v_{3})+j(v_{3}\cdot w_{1}- w_{3}\cdot v_{1})+k(v_{1}\cdot w_{2} -w_{1}\cdot v_{2} )$

$i,j,k$ 表明要将括号中的数解读为坐标?

对偶性(duality)意味着：每当你看到一个（多维）空间到数轴的线性变换时，线性变换矩阵（1*m矩阵，m为原空间维数）都与那个空间中的唯一一个向量（dual vector）对应（即，应用线性变换和与这个向量点乘等价）。

为了理解这个公式，总体计划如下：

1.根据 $\vec{v},\vec{w}$ 定义一个三维到一维的线性变换

2.找到它的对偶向量

3.说明这个对偶向量就是 $\vec{v}\times \vec{w}$

计算上讲(Computationally)

二维叉积 $\vec{v}\times \vec{w}=\begin{vmatrix} \begin{bmatrix} \vec{v} & \vec{w} \end{bmatrix} \end{vmatrix}$ 这样表示?

那么三维叉积类推为 $\vec{u}\times \vec{v}\times \vec{w}=\begin{vmatrix}\begin{bmatrix} \vec{u} & \vec{v}&\vec{w} \end{bmatrix}\end{vmatrix}$ ，很明显这个不是真正的叉积，不过想法非常接近了。

如果将 $\vec{u}$ 看作可变向量，有 $f(\begin{bmatrix} x\\y \\ z \end{bmatrix})=\begin{vmatrix} \begin{bmatrix} x &v_{1} & w_{1}\\ y&v_{2} & w_{2}\\ z& v_{3}& w_{3} \end{bmatrix} \end{vmatrix}$ （这个行列式其实就是体积）

根据行列式地性质，这个函数是线性的，就可以开始引入对偶思想：可以看出 $\begin{bmatrix} x\\y \\ z \end{bmatrix}$ 到 $\begin{vmatrix} \begin{bmatrix} x &v_{1} & w_{1}\\ y&v_{2} & w_{2}\\ z& v_{3}& w_{3} \end{bmatrix} \end{vmatrix}$ 是三维空间到一维空间。那么 $f(\begin{bmatrix} x\\y \\ z \end{bmatrix})$ 可以写成 $\begin{bmatrix} ? &? &? \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y \\ z \end{bmatrix}$ ，进而写成 $\begin{bmatrix} ?\\? \\ ? \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x\\y \\ z \end{bmatrix}$ 。如果未知向量用 $\vec{p}$ 表示，可以写成 $\begin{bmatrix} p_{1}\\p_{2} \\p_{3} \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x\\y \\ z \end{bmatrix}$ ，即 $p_{1}x+p_{2}y+p_{3}z =\begin{vmatrix} \begin{bmatrix} x &v_{1} & w_{1}\\ y&v_{2} & w_{2}\\ z& v_{3}& w_{3} \end{bmatrix} \end{vmatrix} =x(v_{2}w_{3}-v_{3}w_{2})+y(v_{3}w_{1}-v_{1}w_{3})+z(v_{1}w_{2}-v_{2}w_{1})$

可得 $\vec{p}=\begin{pmatrix} p_{1}\\p_{2} \\ p_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}v_{2}w_{3}-v_{3}w_{2} \\ v_{3}w_{1}-v_{1}w_{3}\\v_{1}w_{2}-v_{2}w_{1} \end{pmatrix}$

几何意义上(geometrically)

? $\begin{bmatrix} p_{1}\\p_{2} \\p_{3} \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x\\y \\ z \end{bmatrix}$ 可以看作是 $\vec{u}$ 在 $\vec{p}$ 上的投影乘 $\begin{vmatrix} \vec{p } \end{vmatrix}$ ( $\begin{vmatrix} \vec{p } \end{vmatrix}$ 也即底面积S)