动态规划——子序列问题——连续？不连续？
子序列问题是动态规划的一个常考题型，本篇文章主要介绍 子序列（连续）和子序列（不连续）两个问题。连续和不连续指的是子序列是否是连续的，还是说中间是可以有间隔的子序列。
一：子序列（不连续）
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分析：从题意我们可以读出该题想求的是不连续的递增子序列。
解法：动态规划
第一步：dp[i]的定义
dp[i]表示i之前包括i的最长上升子序列的长度。
第二步：状态转移方程
位置 i 的最长升序子序列等于 j 从 0 到 i-1 各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。
所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
注意这里不是要dp[i] 与 dp[j] + 1进行比较，而是我们要取dp[j] + 1的最大值。
第三步：dp[i]的初始化
每一个i，对应的dp[i]（即最长上升子序列）起始大小至少都是1.
第四步：确定遍历顺序
dp[i] 是有 0 到 i-1 各个位置的最长升序子序列推导而来，那么遍历 i 一定是从前向后遍历。
j 其实就是 0 到 i-1，遍历i的循环在外层，遍历j则在内层。
代码如下：
class Solution {
public int lengthOfLIS(int[] nums) {
int[] dp = new int[nums.length];
Arrays.fill(dp,1);
int result = 1;
for(int i = 1 ; i < nums.length ; i++){
for(int j = 0 ; j < i ; j++){
if(nums[i]>nums[j]){
dp[i] = Math.max(dp[i],dp[j]+1);
}
}
if(dp[i] > result){
result = dp[i];
}
}
return result;
}
}
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分析：
第一步：确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]
第二步：确定递推公式
主要就是两大情况： ①text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同 ②text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同
如果① text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
如果② text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。
即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
第三步：dp数组如何初始化
先看看dp[i][0]应该是多少呢？
text1[0, i-1]和空串的最长公共子序列自然是0，所以dp[i][0] = 0;
同理dp[0][j]也是0。
其他下标都是随着递推公式逐步覆盖，初始为多少都可以，那么就统一初始为0。
第四步：确定遍历顺序
从递推公式，可以看出，有三个方向可以推出dp[i][j]，如图：
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那么为了在递推的过程中，这三个方向都是经过计算的数值，所以要从前向后，从上到下来遍历这个矩阵。
代码如下：
class Solution {
public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
int[][] dp= new int[text1.length()+1][text2.length()+1];
int res = 0;
for(int i = 1 ; i <= text1.length() ; i++){
for(int j = 1 ; j <= text2.length() ; j++){
if(text1.charAt(i-1) == text2.charAt(j-1)){
dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
}else{
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
}
if(dp[i][j] > res){
res = dp[i][j];
}
}
}
return res;
}
}
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分析：仔细读题会发现其实本题就是求最长公共子序列（不连续）和上题一模一样，换一下参数就可以直接AC。?
代码如下：
class Solution {
public int maxUncrossedLines(int[] nums1, int[] nums2) {
int[][] dp= new int[nums1.length+1][nums2.length+1];
int res = 0;
for(int i = 1 ; i <= nums1.length ; i++){
for(int j = 1 ; j <= nums2.length ; j++){
if(nums1[i-1] == nums2[j-1]){
dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
}else{
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
}
if(dp[i][j] > res){
res = dp[i][j];
}
}
}
return res;
}
}二：子序列（连续）
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第一步：确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：以下标i为结尾的数组的连续递增的子序列长度为dp[i]。
注意这里的定义，一定是以下标i为结尾，并不是说一定以下标0为起始位置。
第二步：确定递推公式
如果 nums[i] > nums[i-]，那么以 i?为结尾的数组的连续递增的子序列长度 一定等于 以i-1为结尾的数组的连续递增的子序列长度 + 1 。
即：dp[i] = dp[i-1] + 1;
因为本题要求连续递增子序列，所以就必要比较nums[i + 1]与nums[i]，而不用去比较nums[j]与nums[i] （j是在0到i之间遍历）。
既然不用j了，那么也不用两层for循环，本题一层for循环就行，比较nums[i] 和 nums[i-1]。
第三步：dp数组如何初始化
以下标i为结尾的数组的连续递增的子序列长度最少也应该是1，即就是nums[i]这一个元素。
所以dp[i]应该初始1;
第四步：确定遍历顺序
从递推公式上可以看出， dp[i]依赖dp[i-1]，所以一定是从前向后遍历。
代码如下：
class Solution {
public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
int dp[] = new int[nums.length];
Arrays.fill(dp,1);
int res = 1;
for(int i = 1 ; i < nums.length ; i++){
if(nums[i] > nums[i-1]){
dp[i] = dp[i-1]+1;
}
if(dp[i] > res){
res = dp[i];
}
}
return res;
}
}
分析：
第一步：确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。
第二步：确定递推公式
根据dp[i][j]的定义，dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。
即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
根据递推公式可以看出，遍历i 和 j 要从1开始！
第三步：dp数组如何初始化
根据dp[i][j]的定义，dp[i][0] 和dp[0][j]其实都是没有意义的！
但dp[i][0] 和dp[0][j]要初始值，因为 为了方便递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
所以dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0。
第四步：确定遍历顺序
外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。或者相反都可以。
同时题目要求长度最长的子数组的长度。所以在遍历的时候顺便把dp[i][j]的最大值记录下来。
代码如下：
class Solution {
public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
int res = 0 ;
int[][] dp = new int[nums1.length+1][nums2.length+1];
for(int i = 1 ; i <= nums1.length ; i++){
for(int j = 1 ; j <= nums2.length ; j++){
if(nums1[i-1] == nums2[j-1]){
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
if(dp[i][j] > res){
res = dp[i][j];
}
}
}
}
return res;
}
}总结：这道题我觉得和子序列（不连续）里面的第二题非常像，只不过这道题要求必须是联系的，所以只有在 nums1[i-1] == nums2[j-1] 时，dp[i][j] ==?dp[i-1][j-1] + 1，如果不相等就无需记录了，默认值1即可。但是上面的第二题，还需要比较dp[i][j-1] 和?dp[i-1][j] 的最大值进行记录，因为之后如果有相等的还需要前面的计算结果。而本题一旦不相等，这个子数组就断了，无需记录之前的数据。
分析：这个题之前用贪心也写过，但是这里还是使用动态规划来进行解决，下面我会贴上贪心的代码。
第一步：确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：包括下标i之前的最大连续子序列和为dp[i]。
第二步：确定递推公式
dp[i]只有两个方向可以推出来：
- dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和
- nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和
一定是取最大的，所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
第三步：dp数组如何初始化
从递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态，dp[0]就是递推公式的基础。
dp[0]应该是多少呢?
根据dp[i]的定义，很明显dp[0]应为nums[0]即dp[0] = nums[0]。
第四步：确定遍历顺序
递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历。
?动态规划代码如下：
class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
int dp[] = new int[nums.length];
int res = nums[0];
dp[0] = nums[0];
for(int i = 1 ; i < nums.length ; i++){
dp[i] = Math.max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]);
if(dp[i]>res){
res = dp[i];
}
}
return res;
}
}贪心代码如下：
class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
int max = Integer.MIN_VALUE;
int sum = 0;
for(int i = 0 ; i < nums.length ; i++){
sum += nums[i];
if(sum > max){
max = sum;
}
if(sum < 0){
sum = 0;
}
}
return max;
}
}总结：动态规划在解决子序列问题这里有两把刷子，以后遇到子序列的问题都可以考虑一下使用动态规划来进行解决。
如果有写的不对的地方，欢迎指出。感谢代码随想录。