C - 1111gal password

题目大意

给定正整数 $N$ ，求符合下列条件的整数 $X$ 的个数，对 $998244353$ 取模：

$X$ 是 $N$ 位的正整数
$X$ 的每一位数都在 $[1, 9]$ 之间（0不行）；
$X$ 的相邻两位数之差的绝对值不超过 $1$ 。

$2\le N\le 10^6$

输入格式

$N$

输出格式

输出答案。

样例

$N$	输出
$4$	$203$
$2$	$25$
$1000000$	$248860093$

分析

根据乘法原理可得，符合条件的 $N$ 位数最多有 $9^N$ 个，显然不能暴力求解。
但是，由于每一位会被上一位所限制，所以我们很容易想到使用 $\text{DP}$ 求解。
令 $f (i, j) = X$ 的第 $i$ 位上出现 $j$ 的可能数，易得：
$f(i,j)=\begin{cases} 1&(i=1)\\ f(i-1,1)+f(i-1,2)&(j=1)\\ f(i-1,8)+f(i-1,9)&(j=9)\\ f(i-1,j-1)+f(i-1,j)+f(i-1,j+1)&(i>1,2\le j\le8) \end{cases}$
因此，直接输出 $\sum\limits_{i=1}^9f(n,i)$ 即可。

代码

本代码运用了滚动表的优化，当然也可以直接开 $N\times9$ 大小的数组，但这样会导致内存占用大，不建议使用。

#include <cstdio>
#define MOD 998244353
using namespace std;

inline void mod(int& x)
{
	if(x >= MOD) x -= MOD;
}

int dp[9], ldp[9];

int main()
{
	int n;
	scanf("%d", &n);
	for(int i=0; i<9; i++)
		dp[i] = 1;
	while(--n)
	{
		for(int i=0; i<9; i++)
			ldp[i] = dp[i];
		mod(dp[0] += dp[1]), mod(dp[8] += dp[7]);
		for(int i=1; i<8; i++)
			mod(dp[i] += ldp[i - 1]),
			mod(dp[i] += ldp[i + 1]);
	}
	int ans = 0;
	for(int i=0; i<9; i++)
		mod(ans += dp[i]);
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}

D - ABC Transform

题目大意

给定由A、B、C组成的字符串 $S$ 。令 $S_0=S$ ， $S_i=S_{i-1}$ 将A、B、C分别替换为BC、CA、AB的新字符串。
回答 $Q$ 个查询，第 $i$ 个查询的问题如下：

求 $S_{t_i}$ 的第 $k_i$ 个字母。

$1\le |S|\le 10^5$
$1\le Q\le 10^5$
$1\le t_i\le 10^{18}$
$1\le k_i\le min(10^{18},S_{t_i}$ 的长度 $)$

输入格式

$S$
$Q$
$t_1~k_1$
$\vdots$
$t_Q~k_Q$

样例

样例输入1

样例输出1

A
B
C
B

$S_0=~$ ABC
$S_1=~$ AABCB

样例输入2

CBBAACCCCC
5
57530144230160008 659279164847814847
29622990657296329 861239705300265164
509705228051901259 994708708957785197
176678501072691541 655134104344481648
827291290937314275 407121144297426665

样例输出2

A
A
C
A
A

注意小心整数溢出问题。

分析

令 $f(t,k)=(S_0$ 为AAA..时 $S_t$ 的第 $k$ 个字母，其中A、B、C分别对应 $0, 1, 2$ 且 $k$ 从 $0$ 开始 $)$ ，则通过找规律可得：
$f(t,k)=\begin{cases} 0 & (t=0)\\ g(0,t) & (k=0)\\ g(f(t-1,\lfloor\frac k2\rfloor),(k\bmod2)+1) & (t>0,k>0) \end{cases}$
其中 $g (c, x)$ 为字符 $c$ 在A,B,C,A,...这个环中 $c$ 后面的第 $x$ 个字符，即 $g(c,x)=(c+x)\bmod3$ 。
因此，我们只要求出 $x$ 在 $S$ 的哪个字符分解后的结果中，再计算 $f$ 即可。
答案为 $\mathrm{ans}=g(f(t,(k-1)\bmod2^t),S_{\lfloor\frac {k-1}{2t}\rfloor})$ 。

代码

以下两种示范代码均使用非递归形式，当然也可使用递归形式。

代码1（标准）

#include <cstdio>
using namespace std;

char s[100005];

int main()
{
	scanf("%s", s);
	int q;
	scanf("%d", &q);
	while(q--)
	{
		long long t, k;
		scanf("%lld%lld", &t, &k);
		k --;
		int x = s[t < 64? k >> t: 0] - 'A'; // 防止t太大导致RE
		while(t > 0 && k > 0)
		{
			x = (x + int(k & 1LL) + 1) % 3;
			k >>= 1LL, t --;
		}
		putchar((t + x) % 3 + 'A');
		putchar('\n');
	}
	return 0;
}

代码2（优化）

#include <cstdio>
using namespace std;

char s[100005];

int main()
{
	scanf("%s", s);
	int q;
	scanf("%d", &q);
	while(q--)
	{
		long long t, k;
		scanf("%lld%lld", &t, &k);
		k --;
		int c = 0;
		if(t < 64)
		{
			c = s[k >> t] - 'A';
			k &= (1LL << t) - 1LL;
		}
		else c = s[0] - 'A';
		for(c+=t%3; k>0; k&=k-1) c ++;
		putchar(c % 3 + 'A');
		putchar('\n');
	}
	return 0;
}

E - (?x?)

题目大意

对于 $T$ 个测试点，分别解决下列问题：
给定整数 $N$ 和字符串 $S$ ，求合法字符串 $X$ 的个数，使其符合下列条件：

$∣ X ∣ = N$
$X$ 由大写英文字母组成，是一个回文串
按字典序， $X\le S$

$1\le T\le 250000$
$1\le N\le 10^6$
$1\le \sum N\le 10^6$
$∣ S ∣ = N$ 且由大写英文字母组成。

分析

显然，通过 $X$ 的前 $\lceil\frac N2\rceil$ 个字符就可以确定唯一的 $X$ 。下面，我们以ABCDE为例：

ABCDE的前 $\lceil\frac N2\rceil$ 个字符分别为ABC
字典序小于ABC的字符串有 $28$ 个（可看作一个 $26$ 进制数来计算）
判断ABCBA是否可行，与ABCDE比较
可行，答案增加 $1$ 得到 $29$

因此，我们输出 $29$ 。其他情况类似。

代码

#include <cstdio>
#define maxn 1000005
#define MOD 998244353
using namespace std;

using LL = long long;
char s[maxn];

int main()
{
	int T;
	scanf("%d", &T);
	while(T--)
	{
		int n;
		scanf("%d%s", &n, s);
		long long x = 0LL;
		int j = n - 1 >> 1;
		for(int i=0; i<=j; i++)
			(x = x * 26LL + s[i] - 'A') %= MOD;
		bool ok = true;
		while(j >= 0)
		{
			if(s[j] < s[n - 1 - j]) break;
			if(s[j] > s[n - 1 - j]) { ok = false; break;}
			j --;
		}
		if(ok && ++x == MOD) x -= MOD;
		printf("%lld\n", x);
	}
	return 0;
}