摘要
并查集解决的就是快速查找和连接的问题，所以就有在连接（即合并）上的优化和在查找上的优化。不管哪个方面的优化，核心就是降低树的高度，就能减少合并时调整的路径，查找时经过的路径，时间复杂度也就随之降低。
上期文章中谈到，并查集能解决快速查询和连接的问题，并根据查找优先或者合并优先两个不同的方向，介绍它的实现方式，核心思想就是保证比较高效率的查找和连接。并且并查集是基于数组来实现。
但是在合并（Union）的过程中，可能会出现树不平衡的情况，甚至退化为链表，比如下图例子：
当元素1所在的集合合并到元素3所在的集合后，集合就退化为链表。这种情况就失去了并查集的特性了，怎样对并查集进行优化呢？
优化一：基于 size
第一种是基于 size 的优化，即当集合合并时，将元素少的树合并到元素多的树上，如下图：
代码逻辑中，需要添加一个属性，在初始化数组的时候就记录每一个集合中的元素数量：
sizes = new int[capacity];
for (int i = 0; i < sizes.length; i++) {
sizes[i] = 1;
}
这里是创建一个 sizes 的数组，来存放每一个集合中的元素的数量，初始化时，每个集合的数量都是 1 个。
下面在合并函数中，判断两个集合中的元素数量大小，小的集合合并到大的集合中，最重要的是，合并之后要更新集合的元素数量：
public void union(int v1, int v2) {
int p1 = find(v1);
int p2 = find(v2);
if (p1 == p2) return;
// 判断 size 大小
if (sizes[p1] < sizes[p2]) {
parents[p1] = p2;
// 更新元素数量
sizes[p2]+= sizes[p1];
} else {
parents[p2] = p1;
sizes[p1] += sizes[p2];
}
}
代码中发现，被合并的集合的元素数量没有更新，为什么？这是因为记录的元素数量的集合中，只有是根节点的元素位置记录的数量是有效的，所以只需要保证根节点的元素数量正确，不需要每个元素都要做更新。
优化二：基于 rank
基于 size 的优化在一些情况下，也可能造成树的不平衡情况，比如下图：
为了避免出现类似图中的情况，可以应用基于 rank 的优化。
基于 rank 的优化就是将高度低的树接到高度高的树，即上图的合并可以这样处理：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-qT2x3agI-1647003479747)(https://cdn.jsdelivr.net/gh/shPisces/writing_pic/img/202203061448670.png)]
代码中，也是需要定义一个数组，存放每个集合的高度：
ranks = new int[capacity];
for (int i = 0; i < ranks.length; i++) {
ranks[i] = 1;
}
然后在合并时，判断集合的高度，将高度值低的树接到高度值高的的树上。重点是在两个高度相等的树要合并到一起时，更新合并之后的集合的高度，即高度加 1：
public void union(int v1, int v2) {
int p1 = find(v1);
int p2 = find(v2);
if (p1 == p2) return;
// 判断 size 大小
if (ranks[p1] < ranks[p2]) {
parents[p1] = p2;
} else if (ranks[p1] > ranks[p2]) {
parents[p2] = p1;
} else {
parents[p1] = p2;
ranks[p2]++;
}
}
优化三：路径压缩
基于 rank 的优化，在一定程度上保证树的相对平衡，但是在不断的合并过程中，整个树的高度是在不断地增加，这就会导致查找操作所用的时间会越来越多，尤其是最底部的元素，会更加的慢。路径压缩就是为了解决这个问题。
路径压缩就的核心思想就是在查找过程中，让路径上的所有节点都指向根节点，从而保证整个树的高度。即代码如下：
public int find(int v) {
rangeCheck(v);
if (parents[v] != v ) {
// v 元素指向根节点
parents[v] = find(parents[v]);
}
return parents[v];
}
路径压缩是每一个路径上的节点都指向根节点，在实现的成本是很高的，所以在路径压缩的原理上可以继续优化，在保证可以降低树的高度的同时，实现的成本也要低一些。
第一种就是路径分裂，即使路径上的每个节点都指向其祖父节点（即父节点的父节点）：
public int find(int v) {
rangeCheck(v);
while (parents[v] != v ) {
int p = parents[v];
// parents[parents[v]] 是重点
parents[v] = parents[parents[v]];
v = p;
}
return v;
}
第二种是路径减半：即使路径上每隔一个节点就指向其祖父节点：
public int find(int v) {
rangeCheck(v);
while (parents[v] != v ) {
parents[v] = parents[parents[v]];
v = parents[v];
}
return v;
}
不管是路径分裂还是路径减半，都要比路径压缩效率要更高一些。这里需要将集合想象成树结构，会更容易理解代码。
总结
- 并查集合并时两种优化，一种是基于 size 优化，另外一种是基于 rank优化；
- 并查集查找是的优化是路径压缩的优化；
- 在路径压缩的优化下可以再有路径分裂和路径减半这两种优化；
- 并查集的优化核心就是第一在合并时尽量降低树的高度，在查找时调整节点的指向，降低树的高度；
- 具体场景的搭配：优先合并+基于rank优化+路径分裂/路径减半。