经验正交函数分析方法(Empirical Orthogonal Function,缩写为EOF)，也称特征向量分析(Eigenvector Analysis)，或者主成分分析(Principal Component Analysis,缩写PCA)，是一种分析矩阵数据中的结构特征，提取主要数据特征量的一种方法。EOF分析方法能够把随时间变化的变量场分解为不随时间变化的空间函数部分以及只依赖时间变化的时间函数部分。空间函数部分概括场的地域分布特点，而时间函数部分则是由场的空间点的变量线性组合所构成，称为主要分量。
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参考视频：【李华的研究室】经验正交方程EOF-原理，代码，气象学实例，文献解读
这位UP主关于EOF的原理及用法解释的比较详细，关于这个视频做了一些笔记如下：
视频里UP主说关于纬度权重的问题，他考虑到格网的距离是随纬度变化的，所以给原始数据乘上了纬度的权重。这个看个人吧。关于EOF单位量纲的处理很到位。
在网上找了很多代码，基本都是直接根据EOF思路编写的，总是感觉有些欠缺，所以找到Climate Data Toolbox（CDT）工具箱里的EOF函数来做。
工具箱下载地址：Climate Data Toolbox for Matlab
EOF使用文档：eof documentation
eof documentation
The eof function gives eigenmode maps of variability and corresponding principal component time series for spatiotemporal data analysis. This function is designed specifically for 3D matricies of data such as sea surface temperatures where dimensions 1 and 2 are spatial dimensions (e.g., lat and lon; lon and lat; x and y, etc.), and the third dimension represents different slices or snapshots of data in time.
Syntax
eof_maps = eof(A)
eof_maps = eof(A,n)
eof_maps = eof(…,‘mask’,mask)
[eof_maps,pc,expvar] = eof(…)
Description
最简单的：
eof_maps = eof(A) calculates all modes of variability in A, where A is a 3D matrix whose first two dimensions are spatial, the third dimension is temporal(要求输入的矩阵为三维矩阵，前两维是空间，第三维时间), and data are assumed to be equally spaced in time. Output eof_maps have the same dimensions as A, where each map along the third dimension represents a mode of variability order of importance.
自定义导出多少模态的：
eof_maps = eof(A,n) only calculates the first n modes of variability. For large datasets, it’s computationally faster to only calculate the number of modes you’ll need. If n is not specified, all EOFs are calculated (one for each time slice).
自定义掩膜区域的：
eof_maps = eof(…,‘mask’,mask) only performs EOF analysis on the grid cells represented by ones in a logical mask whose dimensions correspond to dimensions 1 and 2 of A. This option is provided to prevent solving for things that don’t need to be solved, or to let you do analysis on one region separately from another. By default, any grid cells in A which contain any NaNs are masked out.
常用下面这个
[eof_maps,pc,expvar] = eof(…) returns the principal component time series pc whose rows each represent a different mode from 1 to n and columns correspond to time steps. For example, pc(1,:) is the time series of the first (dominant) mode of varibility. The third output expvar is the percent of variance explained by each mode. See the note below on interpreting expvar.
CDT工具箱EOF简单介绍
在直接使用之前希望能把下面这一部分阅读一下，这决定了能否做出EOF以及做出结果与他人结果之间的差别。
这个工具箱直接集成了EOF计算过程，其实代码很少比较简单，但是他考虑了一些细节部分，比起直接根据思路编写的代码比起来很有用，下面列举一些细节处理部分。这些部分也决定了其做出的结果与其他算法结果不一样。
1、首先是无数据区域的掩膜部分。我这里处理的是海洋部分，所以下载的nc数据陆地部分表示为Nan。如果直接对带着Nan的数据进行协方差矩阵计算，得到的协方差矩阵也会全变成Nan。所以这个EOF函数直接在开头就考虑到这一点，提取了数据中Nan的区域，让它作为“Mask”。然后在后续处理中将无数据区域掩膜掉。
但是这个mask也存在一些问题。可以看到生成mask的代码是~any(isnan(A),3)，这就意味着，一旦一个格点在某一时间点是无数据的，那么这个格点整个时间的数据在后期都会被忽略，也就没法做出EOF结果，可以参考我下面这个结果图。
可以看到大部分区域都是没结果的状态，然后我去看了他生成的mask，发现那些区域的格点在某个时间点没数据，结果这个格点都被忽略了。
2、这个函数里关于数据去趋势，也即求距平，他用的是detrend函数。
这个时候的A已经被转换为二维数组，时间×空间，也就是每一行代表某一时间点的所有空间数据点，每一列代表某一空间点所有时间的数据。查询detrend的使用方法可知，它是按照列的顺序去趋势，那也就是对该点所有时间数据去趋势。我看到有些代码写的是对某一时间所有空间内数据去趋势，所以这里我也不知道到底该怎么做。这是需要注意的一点。
3、关于求协方差矩阵，这个函数很细心的考虑到了时间和空间的维度。但是他没有除以n时间数，在视频里UP主说除以或者不除以只会影响最后的特征值（而且会影响EOF的数据范围，我试了一下，如果除以n，EOF会很大而特征值很小）。
以上差不多是这个工具箱函数所涉及到的一些细节问题，了解之后便可以开始使用了。
CDT工具箱EOF函数使用
根据EOF工具可以直接进行分析处理，但是还涉及到数据预处理的一部分，所以下面的代码很大一部分是关于数据处理和画图的。提一句画图用的是m_map，但是感觉效果不好，最后结果分析部分会写。
以下是一些自己写代码过程中遇到的问题记录：
1、注意对原始数据的处理。读取nc文件的时候先看一下他各个变量的名称，有的会简写有的会全拼，有的会大写有的会小写。他这个EOF函数需要三维矩阵，空间和时间。我下载的nc数据是四维的，包含深度维度，所以我先需要把深度处理一下，用的reshape函数。我的数据还涉及到一个问题，就是直接读取的nc文件和真实的地理分布情况不一样。可以看一下下图（我直接复制数据到excel里看一下效果）。
这很明显处于一个颠倒的状态，所以要根据自己的实际区域去做调整，比如下面代码里我直接逆时针旋转90度rot90即可。有的数据诡异到需要左右上下翻转（有个数据需要flipud(rot90())）之后才对得上。下图是翻转之后的结果。
2、关于North检验
因为后续我要做North检验，所以我修改了工具箱EOF函数的一部分，我把EOF计算的特征值作为函数输出了，也就是变成了[eofs_CHL,pcs_CHL,expvar_CHL,lamda] = eof(CHL_True);，这个需要在EOF函数里进行修改，在EOF的最后添加lamda = diag(D);，然后在对应的各个函数输出里添加上即可。
3、m_grid画边界的时候，起始和终止经纬度一定得是整数，如果是小数会报错。
4、代码中涉及到EOF结果导出tif，后续会提到，如果不需要可以直接去掉。
clear all
clc
data = 'F:\0TCLI\Marine Data Analysis\Data\CHL\cmems_mod_glo_bgc_my_0.25_P1M-m_20112020CHLetcl.nc'; %10年月均数据
ncdisp(data);
ncinfo(data);
lon = ncread(data,'longitude'); % 经度longitude
lat = ncread(data,'latitude'); % 纬度latitude
time = ncread(data,'time'); % 时间
CHL_data = ncread(data,'chl'); % 叶绿素a Chlorophyll-a
ntimes = length(time); nlats = length(lat); nlons = length(lon);
%% CHL数据处理
CHL_3D = reshape(CHL_data,size(CHL_data,1),size(CHL_data,2),[]); % 四维数组变三维，深度这一维度不起作用
CHL_True = rot90(CHL_3D); % 逆时针旋转90度变成真正符合实际情况的形式
boundary = [106 120 3 24]; % [起始经度 终止经度 起始纬度 终止纬度]
%% 做EOF，及结果导出
[eofs_CHL,pcs_CHL,expvar_CHL,lamda] = eof(CHL_True); % 使用CDT工具箱里的EOF函数
EOF_1_CHL = eofs_CHL(:,:,1).*std(pcs_CHL(1,:)); % 第一模态标准化
PC_1_CHL = pcs_CHL(1,:)./std(pcs_CHL(1,:)); % 第一模态时间系数
[A,GeoReference] = geotiffread('F:\0TCLI\Marine Data Analysis\Data\CHL\CHL_TEST.tif'); % 我要把EOF结果导出
geotiffwrite('CHL_EOF_1_Origin.tif',eofs_CHL,GeoReference); % EOF结果导出tif
EOF_2_CHL = eofs_CHL(:,:,2).*std(pcs_CHL(2,:)); % 第二模态
PC_2_CHL = pcs_CHL(2,:)./std(pcs_CHL(2,:));
% North检验
mask = ~any(isnan(CHL_True),3); % 获取Nan区域
N = sum(sum(double(mask) == 1)); % 统计有效数据点数
d = lamda.*sqrt(2/N); % 误差
delta_lamda(:,1) = lamda-d; % 特征值下限
delta_lamda(:,2) = lamda+d; % 特征值上限
%% 绘图
m_proj('Mercator','lat',[boundary(3) boundary(4)],'lon',[boundary(1) boundary(2)]); % 定义投影
% 生成网格
lat_2 = linspace(boundary(4),boundary(3),nlats); % 要从高纬度到低纬度生成（我是北半球）
lon_2 = linspace(boundary(1),boundary(2),nlons);
[plon,plat] = meshgrid(lon_2,lat_2);
% 绘制图形
subplot(1,2,1)
m_pcolor(plon,plat,EOF_1_CHL) % 添加要画的内容
colormap('jet'); % m_colmap('jet') % 设置色带的颜色
% shading interp % 这个可以让结果图很平滑
% caxis([-0.1 0.1]) % 这个设置显示范围
hold on
% 添加边界，我这里导入了外部的矢量文件边界
% 可以直接用m_coast('color',[0 0 0],'linewidth',2) 绘制海岸线，填充陆地
Border = shaperead('E:\0Data\世界国家\世界国家.shp');
bor_x = [Border(:).X];
bor_y = [Border(:).Y];
m_plot(bor_x,bor_y,'linewidth',2,'color',[0 0 0]);
m_grid('box','fancy') %添加边框
hold on
%添加标题
title('EOF First','FontSize',12,'FontName','Times New Roman')
%添加色带
h = colorbar('eastoutside','FontSize',12,'FontName','Times New Roman');
% 下面的可以为色带添加小标题，写上单位，还能修改色带位置让它离图远一点
% set(get(h,'title'),'string','mmol m^{-3}','FontSize',12,'FontName','Times New Roman');
% position = get(h,'Position');
% set(h,'Position', [position(1)+0.15,position(2),position(3),position(4)]);
subplot(1,2,2)
date = linspace(2011,2020,120); % 生成时间序列
anomaly(date,PC_2_CHL) % 画时间系数
set(gca,'XTick',2011:1:2020);
% plot(date,PC_2_CHL) % 也能直接画
EOF结果分析
下图即为第一模态和时间系数结果，我用的是-EOF和-PC，为啥加上负号可以参考开头提到的视频。
各个模态方差贡献率和特征值误差：
可以看到，整个海域的Chl-a变化好像并不太明显，除了靠近陆地的那个区域变化剧烈，还有中西部有一点变化。时间系数也有很明显的季节变化规律。前五个模态都通过了North检验。
但是这个结果图让我看着太难受了，给人一种整个海域都没多大变化的感觉。所以要对结果进行导出处理。代码里也涉及到了导出，导出为tif文件需要地理参考，这个参考从哪来？就从原始nc文件里来，在arcgis中先打开nc文件，然后导出为tif文件，再导入matlab中获取它的地理参考，即可当作EOF文件的地理信息。geotiffread、geotiffwrite
导出之后在arcgis中打开，做直方图均值化处理，效果直接提升了一个档次。
范围都是一样的，但是给人感觉不一样。可以看到南海中西部很明显有剧烈变化，这跟已有文献的结果差不多（虽然我的范围有点太大了，但是感觉还行吧）。
那这里就涉及到一个结果显示的问题，matlab也能做直方图均衡化啊，直接在matlab里histeq不完了。
首先我们的EOF结果中是存在Nan值的，直接histeq会显示：
他会自动把Nan变成0值，然后去做。0也作为了像元的值参与了直方图均值化，直接影响了结果。而且陆地被均值化之后还要用之前的mask去处理掉不让他显示
显示结果如下图所示。左边是matlab直方图均值化，右边是arcgis直方图均值化。可以看到中部区域在左图显得变化很剧烈，但其实只有中西部一小部分区域是剧烈变化的。
再回到EOF结果导出这，导出为tif之后直接在arcgis中打开会成这样：
也就是陆地那些Nan值会变成0然后被赋予颜色。那我不想让他显示，需要在ENVI里处理一下。ENVI APP STORE中找个插件，或者参考这个ENVI扩展工具：利用波段运算修改NaN方法总结
然后用Band Math工具把Nan赋成0，再修改metadata，设置Data Ignore Value为0，然后导出dat文件，再在arcgis中打开即可忽略背景。
到此，EOF处理算是差不多了。