[数据结构与算法]Manacher算法

原始问题：

在一个字符串中找到最长的回文字符串

什么是回文字符串？ aba, abba。

添加任意字符在两边#1#1#2#1#1#进行回文判断。

• 回文直径：以一个位置为中心，扩出来整个串的长度为回文直径
• 回文半径：以一个位置为中心，扩出来半个串长度为回文半径
• 回文数组：对于字符串而言，从0位置开始，一直到最后，新建一个数组，数组中保存对应位置的回文半径。
• 最右回文右边界：所有回文半径中，最靠右的边界，回文右边界只要没更新，记录最早取得此处的回文中心。

Manacher算法的核心在于一个回文数组。根据具体例子来走。解题思路：

• 回文右边界R不包含位置i，此时暴力扩展，直到R包含i。
• i位置在回文有边界内时，知道了回文右边界可以知道回文左边界，对称中心为c，此时关于c做i的对称点i‘，若i‘的回文彻底在c为中心的回文里面，此时i的回文半径和i’的回文半径相同。
• i位置的对称位置i’的回文半径越过了以c为中心的左边范围。（i‘扩出的范围以c为中心的回文没包住，存在一部分在回文直径外面）此时i’的回文半径是i-R。
• 正好i‘的回文半径正好跟左边L相等，此时可以直到i的回文半径大于等于i-R，然后需要判断R后面的位置，重新返回第一步。
• 整个算法的复杂度O(n)，虽然第一步和第四步花费时间长，但是1，4都会扩展R，依次变化的过程中，R最多也就是变化到n，所以时间复杂度为O(n)。

Java代码如下：

public static char[] manacherString(String str){
	char[] charArr = str.toCharArray();
	char[] res = new char[str.length()*2+1];
	int index = 0;
	for(int i = 0;i != res.length;i++){
		res[i] = (i&1) == 0? '#':charArr[index++];
	}
	return res;
}

public static int maxLcpsLength(String str){
	if(str == null || str.length() == 0){
		return 0;
	}
	char[] charArr = manacherString(str);
	int[] pArr = new int[charArr.length];
	int C = -1;
	int R = -1;
	int max = Integer.MIN_VALUE;
	for(int i = 0;i != charArr.length;i++){
        //让至少是回文的区域加入到数组中
		pArr[i] =R > i ? Math.min(pArr[2*c-i],R-i):1;

        //左边和右边都不越界的情况下。如果相等就继续扩，如果不相对了，就退出
		while(i+pArr[i]<charArr.length && i-pArr[i]> -1 ){
			if(charArr[i +pArr[i]] == charArr[i-pArr[i]])
				pArr[i]++;
			else{
				break;
			}
		}
		if(i + pArr[i]>R){
			R = i+pArr[i];
			c = i;
		}
		max = Math.max(max,pArr[i]);
	}
	return max-1;
}