[数据结构与算法]深度学习（二）-认识要从线性回归和逻辑回归说起

一、前言

本章开始之前先来了解一下几个概念：

• 预测值和真实值

• 预测值为模型自动计算的结果（标签）
• 真实值为数据本身的结果

• 损失函数

• 损失函数是用来权衡预测值和真实值之间的差异的，通过这个差异我们可以判断模型参数的好坏，指导模型如何做下一步优化。
• 最简单的损失函数如均方差，通过预测值和真实值之间的差值来计算预测的差异性

二、线性回归

1、基础概念

线性回归主要是基于一种假设：我们所要求解的目标变量y和特征变量x之间呈线性关系，也就是我们中学所学的:
$$y=kx+b$$

机器学习常用:
$$y=Wx+b$$

虽说没有公式就没有伤害，但公式还是要有的！

我们的目标是找到一个合适$W$和一个合适$b$，以确定y和x的之间的关系，这个过程我们称之为训练，根据这个关系我们可以在已知$x$的条件下计算出$y$，这个过程我们称之为预测。

然而在实际的问题中，特征变量x的往往不只一个，也就是影响目标变量y的因素存在多个（$x_1,x_2,x_3...x_n$），此时，一元的线性回归已经不能解决问题，就需要使用多元线性回归:
$y=W_1{x}_1+W_2{x}_2+W_3{x}_3+...W_n{x}_n+B$

在假设了$x$和$y$的关系符合线性特征以后，下一步就是求解合适的参数$W_1,W_2...W_n,B$，这里的合适如何衡量呢？

我们可以采用损失函数来衡量，预测的结果相对于真实结果损失（误差）严重，我们认为参数不合适，损失越小则认为参数越合适。

这里的损失函数可以采用均方误差:

$$loss=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(y_{预测值}?y_{真实值})$$

这个容易理解，预测值减去真实值，即是误差值。
将$y_{预测值}$替换为线性回归函数之后即为：

$$loss=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(W_1{x}_1+W_2{x}_2+W_3{x}_3+...W_n{x}_n+B?y_{真实值}{)}^2$$

不要害怕这么长的公式，因为并不需要我们手动打草稿计算！我们需要知道的是理解这个过程，从而知道如何选择模型，如何调整模型的参数使得模型最优。

2、模型求解

在定义完模型以后，下一步就是进行模型的求解，那如何求解呢，可以按照正常人的思维来理解：
要使得模型最优，让尽可能多的x和y之间符合某种规律，就需要使得预测误差$loss$的值最小！
如此，目标就得到进一步拆解：

• 求出loss最小时$W_1,W_2,W_3...W_n,B$的值（这里的最小不是很准确，因为很难求出，一般都是较小）

求解的过程中，我们引入一个新的算法：梯度下降法。

其核心是对自变量进行不断的更新迭代，使得目标函数$loss$不断逼近最小值，具体过程让$W_1,W_2,W_3...W_n,B$沿着梯度最大的反方向更新，直到梯度较为平稳后停止。

更新的计算过程如下：
$w=w?\eta dw$

例如一条高山上的河流，要以最快的速度到达山底（求最小值），自然是通过最为陡峭（梯度最大）的坡度进行流淌。

下面举一个小栗子：

已知函数$y=x^2?2x+1$ 求$y$最小时$x$的值

第一步：初始化$x^0=0$，$\eta =0.1$（随机初始化）
第二步：对函数求导$y^{导数}=dw=2x?2$
迭代：

第1次：$x^1=x^0?\eta dx=0?0.1?(2?0?2)=0.2$
第2次：$x^2=x^1?\eta dx=0.36$
…
第22次：$x^{22}=x^{21}?\eta dx=0.999...$
第23次：$x^{23}=x^{22}?\eta dx=0.9999..$

从中可以发现，通过多次迭代$x$的值越来越趋近于1，而我们画出$y=x^2?2x+1$的函数图像来看，$x=1$时，$y$值最小。

另外我们也可以通过令$y^{导数}=dw=2x?2=0$的方式求解$y$最小时$x=\frac{2}{2}=1$，这种方式看起来更加简单快捷，为什么不使用这种方式，要整一个梯度下降法呢？

因为在现实的问题中，要求解的参数并非屈指可数，求解就变得异常困难，而梯度下降法虽然不那么精确，但至少能够在可承受的范围内给出一个相对满意的结果！

三、逻辑回归

1、基础概念

逻辑回归可以看做是线性回归的一种扩展，线性回归解决的是目标变量y和特征变量x之间的拟合问题，其输出是连续的，连续的值对于预测数值是极好的，但是对于分类问题却显得无能为力，比如要判断购物之后的评论是好评还是差评，这个时候科学家们想出了一个办法：

在已有线性的基础上加上一层可以进行逻辑判断的函数（通常叫做激活函数），再设定一个阈值，如果输出的连续值大于这个阈值，表示好评，小于阈值，表示差评，这样从理论上就完成了分类任务，也就是逻辑回归（事实上，很多分类算法都是基于此种模式）。

由于连续值$y$的范围太广，阈值的设置就成了一个新的问题，为了解决这个问题，常规的做法是讲$y$的范围进行压缩，映射都一个固定的空间内，比如0到1、-1到1等，如此，一些特定函数得以排上档期，如sigmoid:

以0.5位阈值，大于0.5表示好评，小于0.5即可表示差评。
如tanh:


以0位阈值，大于0表示好评，小于0即可表示差评。

如此，以sigmoid为例，逻辑回归的损失函数为：

$$loss=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(sigmoid(W_1{x}_1+W_2{x}_2+W_3{x}_3+...W_n{x}_n+B)?y_{真实值}{)}^2$$

2、模型求解

模型的求解方式和线性回归一致，不做多余赘述。