引入
??在室内环境中, 多径信号具有天然的空间稀疏性, 根据压缩感知理论可知, 如果信号是可压缩的或者在某个变换域是稀疏的, 可以采用一个随机测量矩阵将高维信号映射到一个低维空间上, 通过求解优化问题, 以很高的概率重构出原始信号。 ??因此,在该理论框架下, 可以通过特定的空间网格划分构造完备的稀疏表达基, 对接收阵列信号进行稀疏化表示, 再利用优化方法得到稀疏空间谱, 这样可以将多径信号的 AOA 估计问题转换为空间谱的稀?重构问题。
稀疏重构算法
??基于稀疏重构实现信号的
A
O
A
\mathrm{AOA}
AOA 估计, 首先要构造完备的稀疏表达基, 使得接收阵列信号能够稀疏化表示。对于阵列接收信号模型, 其转向矩阵
A
\mathbf{A}
A 中每一个转向向量
a
(
θ
l
)
,
l
=
1
,
2
,
…
,
L
\mathbf{a}\left(\theta_{l}\right), l=1,2, \ldots, L
a(θl?),l=1,2,…,L, 对应着空间中一个入射信号。为了接收阵列信号能够稀疏化表示, 将阵列流型矩阵扩展到整个空间。常采用等角度采样的方式划分空间网格,即
{
θ
~
1
,
θ
~
2
,
…
,
θ
~
N
θ
}
\left\{\tilde{\theta}_{1}, \tilde{\theta}_{2}, \ldots, \tilde{\theta}_{N_{\theta}}\right\}
{θ~1?,θ~2?,…,θ~Nθ??}, 其中
N
θ
N_{\theta}
Nθ? 为划分空间 网格的个数。此时, 构成新的阵列流型矩阵
A
~
\tilde{\mathbf{A}}
A~ 可以表示为阵列信号的完备稀疏表达基, 即
A
~
=
[
a
(
θ
~
1
)
,
a
(
θ
~
2
)
,
…
,
a
(
θ
~
N
θ
)
]
\widetilde{\mathbf{A}}=\left[\mathbf{a}\left(\tilde{\theta}_{1}\right), \mathbf{a}\left(\tilde{\theta}_{2}\right), \ldots, \mathbf{a}\left(\tilde{\theta}_{N_{\theta}}\right)\right]
A
=[a(θ~1?),a(θ~2?),…,a(θ~Nθ??)] ??在室内环境中, 多径信号的个数会远远小于划分空间网格信号的个数, 即
L
?
N
θ
L \ll N_{\theta}
L?Nθ?, 假设每一个等角度采样的空间网格都对应一个信号
s
n
,
n
=
1
,
2
,
…
,
N
θ
s_{n}, n=1,2, \ldots, N_{\theta}
sn?,n=1,2,…,Nθ?, 接收阵列信号可以稀疏化表示为
h
=
A
~
s
~
+
n
\mathbf{h}=\widetilde{A} \widetilde{\boldsymbol{s}}+\mathbf{n}
h=A
s
+n ??式中,
s
~
=
[
s
1
,
s
2
,
…
,
s
N
θ
]
?
\tilde{\mathbf{s}}=\left[s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{N_{\theta}}\right]^{\top}
s~=[s1?,s2?,…,sNθ??]? 为稀疏空间谱信号,
n
\mathbf{n}
n 为信号橾声。 ??实际上, 稀疏信号
s
~
\widetilde{\mathbf{s}}
s
含 有
L
L
L 个非零元素, 其所对应转向向量的角度值就是多径人射信号的 AOA 估计, 而其它元素都为零, 如图所示。此时, 空间谱信号
s
~
\widetilde{\mathbf{s}}
s
具有很强的稀疏性, 利用稀疏重构算法可以重构出稀疏的空间谱信号
s
~
\widetilde{\mathbf{s}}
s
, 将信号的
A
O
A
\mathrm{AOA}
AOA 估计问题就转化为稀疏信号的重构问题。根据稀疏空间谱
s
~
\widetilde{\mathbf{s}}
s
和
{
θ
~
1
,
θ
~
2
,
…
,
θ
~
N
}
\left\{\tilde{\theta}_{1}, \tilde{\theta}_{2}, \ldots, \tilde{\theta}_{N}\right\}
{θ~1?,θ~2?,…,θ~N?} 的对应关系确定多径信号的 AOA 估计。
??压缩感知理论指出, 如果阵列流型矩阵
A
~
\tilde{\mathbf{A}}
A~ 满足约束等距性 (Restricted Isometry Property, RIP), 实现
L
L
L 项稀疏空间谱
s
~
\widetilde{\boldsymbol{s}}
s
的精确重构, 可以通过一个组合优化问题求解, 即
?
0
\ell_{0}
?0? 范数优化问题
min
?
∥
s
~
∥
0
?s.?
t
.
h
=
A
~
s
~
\begin{aligned} &\min \|\tilde{\mathbf{s}}\|_{0} \\ &\text { s. } t . \quad \mathbf{h}=\widetilde{\mathbf{A}} \widetilde{\mathbf{s}} \end{aligned}
?min∥s~∥0??s.?t.h=A
s
? ??式中,
∥
s
~
∥
0
\|\tilde{\mathbf{s}}\|_{0}
∥s~∥0? 为稀疏空间谱的
?
0
\ell_{0}
?0? 范数, 表示稀疏信号
s
~
\tilde{\mathbf{s}}
s~ 中非零元素的个数。由统计理论和 组合优化方法可知, 通过选择合适的测量方式和重构算法, 仅需
L
+
1
L+1
L+1 次测量就可将
N
θ
N_{\theta}
Nθ? 维空间的
L
L
L-稀疏信号精确重构, 但是求解上式的非零元素是一个 NP 难问题。当测量矩阵满足 RIP 条件时, 通过
?
1
\ell_{1}
?1? 范数优化问题代替
?
0
\ell_{0}
?0? 范数的组合优化问题, 利用线性规划 算法即可求解,
min
?
∥
s
~
∥
1
?s.?
t
.
h
=
A
~
s
~
\min \|\tilde{\mathbf{s}}\|_{1}\\ \text { s. } t . \quad \mathbf{h}=\tilde{\mathbf{A}} \tilde{\mathbf{s}}
min∥s~∥1??s.?t.h=A~s~
??其核心思想是将非零元素个数近似等于所有非零元素绝对值的和,然后通过正则化求解凸优化问题,
min
?
∥
h
?
A
~
s
~
∥
2
2
+
κ
∥
s
~
∥
1
\min \|\mathbf{h}-\widetilde{\mathbf{A}} \widetilde{\boldsymbol{s}}\|_{2}^{2}+\kappa\|\widetilde{\mathbf{s}}\|_{1}
min∥h?A
s
∥22?+κ∥s
∥1? ??式中,
κ
\kappa
κ 是正则化系数。利用二阶雉规划(??) (Second-Order Cone Programming, SOCP) 的方法 可以重构出稀疏空间谱信号
s
~
\widetilde{\mathbf{s}}
s
, 其中的非零元素所对应的等角度空间网格的 角度值就是多径信号的
A
O
A
\mathrm{AOA}
AOA 估计。
参考文献
[1]张凌雁. 基于WiFi信道状态信息的室内定位跟踪技术研究[D]. 大连理工大学.
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