一、序列对称分解定理示例
实因果序列
h
(
n
)
h(n)
h(n) ,
其 共轭对称序列
h
e
(
n
)
h_e(n)
he?(n) ,
其 共轭反对称序列
h
o
(
n
)
h_o(n)
ho?(n) ,
找出
h
(
n
)
h(n)
h(n) 与
h
e
(
n
)
h_e(n)
he?(n) 序列的关系 ,
h
(
n
)
h(n)
h(n) 与
h
o
(
n
)
h_o(n)
ho?(n) 序列的关系 ;
1、序列对称分解定理
任意一个 序列
x
(
n
)
x(n)
x(n) , 都可以使用其 共轭对称序列
x
e
(
n
)
x_e(n)
xe?(n) 与 共轭反对称序列
x
o
(
n
)
x_o(n)
xo?(n) 之和来表示 ;
x
(
n
)
=
x
e
(
n
)
+
x
o
(
n
)
x(n) = x_e(n) + x_o(n)
x(n)=xe?(n)+xo?(n)
共轭对称序列
x
e
(
n
)
x_e(n)
xe?(n) 与 原序列
x
(
n
)
x(n)
x(n) 之间的关系如下 :
x
e
(
n
)
=
0.5
[
x
(
n
)
+
x
?
(
?
n
)
]
x_e(n) = 0.5[x(n) + x^*(-n)]
xe?(n)=0.5[x(n)+x?(?n)]
共轭反对称序列
x
o
(
n
)
x_o(n)
xo?(n) 与 原序列
x
(
n
)
x(n)
x(n) 之间的关系如下 :
x
o
(
n
)
=
0.5
[
x
(
n
)
?
x
?
(
?
n
)
]
x_o(n) = 0.5[x(n) - x^*(-n)]
xo?(n)=0.5[x(n)?x?(?n)]
2、因果序列
① 离散时间系统因果性 :
" 离散时间系统 "
n
n
n 时刻 的 " 输出 " ,
只取决于
n
n
n 时刻 及
n
n
n 时刻 之前 的 " 输入序列 " ,
与
n
n
n 时刻之后 的 " 输入序列 " 无关 ;
离散时间系统 的 " 输出结果 " 与 " 未来输入 " 无关 ;
" ② 离散时间系统因果性 " 的 充分必要条件是 :
h
(
n
)
=
0
??
n
<
0
h(n) = 0 \ \ n < 0
h(n)=0??n<0
模拟系统的 " 单位冲激响应 " , 必须 从
0
0
0 时刻开始才有值 , 是 " 单边序列 " 类型中的 " 右边序列 " ,
0
0
0 时刻的值 也就是 起点不能为
0
0
0 ;
3、求解过程
h
(
n
)
h(n)
h(n) 实序列的奇偶对称 :
- 偶对称 ( 共轭对称 ) :
h
e
(
n
)
=
h
e
(
?
n
)
h_e(n) = h_e(-n)
he?(n)=he?(?n)
- 奇对称 ( 共轭反对称 ) :
h
o
(
n
)
=
?
h
o
(
?
n
)
h_o(n) = -h_o(-n)
ho?(n)=?ho?(?n)
n < 0 情况
h
(
n
)
h(n)
h(n) 是因果序列 , 对于
n
<
0
n< 0
n<0 时 ,
h
(
n
)
=
0
h(n) = 0
h(n)=0 ,
根据 序列对称分解定理 , 共轭对称序列
x
e
(
n
)
x_e(n)
xe?(n) 与 原序列
x
(
n
)
x(n)
x(n) 之间的关系 , 可以得到
h
e
(
n
)
=
0.5
×
[
h
(
n
)
+
h
(
?
n
)
]
h_e(n) = 0.5 \times [h(n) + h(-n)]
he?(n)=0.5×[h(n)+h(?n)]
其中 , 将
h
(
n
)
=
0
h(n) = 0
h(n)=0 代入上式 , 可得到
h
e
(
n
)
=
0.5
×
[
h
(
n
)
+
h
(
?
n
)
]
=
0.5
×
[
0
+
h
(
?
n
)
]
=
0.5
×
h
(
?
n
)
h_e(n) = 0.5 \times [h(n) + h(-n)] = 0.5 \times [0 + h(-n)] = 0.5 \times h(-n)
he?(n)=0.5×[h(n)+h(?n)]=0.5×[0+h(?n)]=0.5×h(?n)
根据 序列对称分解定理 , 共轭对称序列
x
e
(
n
)
x_e(n)
xe?(n) 与 原序列
x
(
n
)
x(n)
x(n) 之间的关系 , 可以得到
h
o
(
n
)
=
0.5
×
[
h
(
n
)
?
h
(
?
n
)
]
h_o(n) = 0.5 \times [h(n) - h(-n)]
ho?(n)=0.5×[h(n)?h(?n)]
其中 , 将
h
(
n
)
=
0
h(n) = 0
h(n)=0 代入上式 , 可得到
h
o
(
n
)
=
0.5
×
[
h
(
n
)
?
h
(
?
n
)
]
=
0.5
×
[
0
?
h
(
?
n
)
]
=
?
0.5
×
h
(
?
n
)
h_o(n) = 0.5 \times [h(n) - h(-n)] = 0.5 \times [0- h(-n)] = -0.5 \times h(-n)
ho?(n)=0.5×[h(n)?h(?n)]=0.5×[0?h(?n)]=?0.5×h(?n)
n = 0 情况
由于
h
e
(
n
)
h_e(n)
he?(n) 是偶对称的 ,
h
o
(
n
)
h_o(n)
ho?(n) 是奇对称的 , 因此有
h
e
(
0
)
=
h
(
0
)
h_e(0) = h(0)
he?(0)=h(0)
h
o
(
0
)
=
0
h_o(0) = 0
ho?(0)=0
n > 0 情况
h
(
n
)
h(n)
h(n) 是因果序列 , 对于
n
>
0
n > 0
n>0 时 ,
h
(
?
n
)
=
0
h(-n) = 0
h(?n)=0 ,
根据 序列对称分解定理 , 共轭对称序列
x
e
(
n
)
x_e(n)
xe?(n) 与 原序列
x
(
n
)
x(n)
x(n) 之间的关系 , 可以得到
h
e
(
n
)
=
0.5
×
[
h
(
n
)
+
h
(
?
n
)
]
h_e(n) = 0.5 \times [h(n) + h(-n)]
he?(n)=0.5×[h(n)+h(?n)]
其中 , 将
h
(
?
n
)
=
0
h(-n) = 0
h(?n)=0 代入上式 , 可得到
h
e
(
n
)
=
0.5
×
[
h
(
n
)
+
h
(
?
n
)
]
=
0.5
×
[
h
(
n
)
+
0
]
=
0.5
×
h
(
n
)
h_e(n) = 0.5 \times [h(n) + h(-n)] = 0.5 \times [h(n) + 0] = 0.5 \times h(n)
he?(n)=0.5×[h(n)+h(?n)]=0.5×[h(n)+0]=0.5×h(n)
根据 序列对称分解定理 , 共轭对称序列
x
e
(
n
)
x_e(n)
xe?(n) 与 原序列
x
(
n
)
x(n)
x(n) 之间的关系 , 可以得到
h
o
(
n
)
=
0.5
×
[
h
(
n
)
?
h
(
?
n
)
]
h_o(n) = 0.5 \times [h(n) - h(-n)]
ho?(n)=0.5×[h(n)?h(?n)]
其中 , 将
h
(
?
n
)
=
0
h(-n) = 0
h(?n)=0 代入上式 , 可得到
h
o
(
n
)
=
0.5
×
[
h
(
n
)
?
h
(
?
n
)
]
=
0.5
×
[
h
(
n
)
?
0
]
=
?
0.5
×
h
(
n
)
h_o(n) = 0.5 \times [h(n) - h(-n)] = 0.5 \times [h(n)- 0] = -0.5 \times h(n)
ho?(n)=0.5×[h(n)?h(?n)]=0.5×[h(n)?0]=?0.5×h(n)
实因果序列的对称序列与原序列关系
h
e
(
n
)
h_e(n)
he?(n) 与
h
(
n
)
h(n)
h(n) 关系 :
h
e
(
n
)
=
{
h
(
0
)
n
=
0
h
(
n
)
2
n
>
0
h
(
?
n
)
2
n
<
0
h_e(n) =\begin{cases} h(0) & n = 0 \\\\ \cfrac{h(n)}{2} & n > 0 \\\\ \cfrac{h(-n)}{2} & n < 0 \end{cases}
he?(n)=????????????????????h(0)2h(n)?2h(?n)??n=0n>0n<0?
根据上式 , 可以反推
h
(
n
)
h(n)
h(n) 与
h
e
(
n
)
h_e(n)
he?(n) 关系 :
h
(
n
)
=
{
h
e
(
0
)
n
=
0
2
h
e
(
n
)
n
>
0
0
n
<
0
h(n) =\begin{cases} h_e(0) & n = 0 \\\\ 2h_e(n) & n > 0 \\\\ 0 & n < 0 \end{cases}
h(n)=????????????????he?(0)2he?(n)0?n=0n>0n<0?
h
o
(
n
)
h_o(n)
ho?(n) 与
h
(
n
)
h(n)
h(n) 关系 :
h
o
(
n
)
=
{
0
n
=
0
h
(
n
)
2
n
>
0
?
h
(
?
n
)
2
n
<
0
h_o(n) =\begin{cases} 0 & n = 0 \\\\ \cfrac{h(n)}{2} & n > 0 \\\\ \cfrac{-h(-n)}{2} & n < 0 \end{cases}
ho?(n)=????????????????????02h(n)?2?h(?n)??n=0n>0n<0?
根据上式 , 可以反推
h
(
n
)
h(n)
h(n) 与
h
0
(
n
)
h_0(n)
h0?(n) 关系 :
h
(
n
)
=
{
h
(
0
)
n
=
0
2
h
o
(
n
)
n
>
0
0
n
<
0
h(n) =\begin{cases} h(0) & n = 0 \\\\ 2h_o(n) & n > 0 \\\\ 0 & n < 0 \end{cases}
h(n)=????????????????h(0)2ho?(n)0?n=0n>0n<0?
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