问题描述

查询、修改链上的信息（最值，总和等）
随意指定原树的根（即换根）
动态连边、删边
合并两棵树、分离一棵树
动态维护连通性

细化步骤

重点提醒：
1，子节点不会跳出当前节点所在的实链：
虚链链接的时候，父亲不知道儿子是谁，但是儿子知道父亲

2，子节点发生变动的节点需要up，自顶向下递归子节点的时候需要down

3，Up 或者 Down一个不能少, LCT 由于特别灵活的原因，少 down 或 up 一次就可能把修改改到不该改的点上！

4，LCT 的 Rotate 和 Splay 的不太一样，if (z) 一定要放在前面。

5，LCT 的 Splay 操作就是旋转到根，没有旋转到谁儿子的操作，因为不需要。

splay部分

1， spin

只须在对z的儿子进行操作时注意一点：
y若是实链顶部（root），z的子节点不能发生改变

void spin(int x)
{
    int y= tr[x].p;
    int z= tr[y].p;
    int k= tr[y].s[1]==x;
    if(!isroot(y))tr[z].s[tr[z].s[1]==y]=x;
    tr[x].p=z;
    tr[y].s[k]=tr[x].s[k^1]; tr[tr[x].s[k^1]].p=y;
    tr[x].s[k^1]=y; tr[y].p=x;
    up(y); up(x);
}

2， splay

以往 splay 找某个节点的时候，都是从根节点往下找（按照 BST 的性质）

但是在 LCT 中，splay 充当的是辅助树的角色，我们获得 splay 中的节点是通过原树中对应节点的编号

换而言之，我们是直接获得 splay 中的某个节点，而不是自上而下递归找到的

所以，在做 splay 转到根节点的旋转操作时，我们需要先 自上而下 把 懒标记 下传

void splay (int x)
{
    int top = 0;
    int r  = x;
    stk[++top]=x;
    while (!isroot(r))stk[++top]=r=tr[r].p;
    while (top) down(stk[top--]);
    
    while (!isroot(x))
    {
        int y= tr[x].p;
        int z= tr[y].p;
    
        if(!isroot(y))
        {
            if((tr[y].s[1]==x) ^ (tr[z].s[1]==y))spin(x);
            else spin(y);
        }
        spin(x);
    }
}

LCT 部分

子节点发生变动的节点需要up
自顶向下递归子节点的时候需要down

1， access 定位

将x到根（实际的树）的路径修改为实边，并把x转到根（保证splay复杂度）

void access(int x)
{
    int z =x;
    for (int y= 0; x; y=x,x=tr[x].p)
    {
        splay(x);
        tr[x].s[1]=y;
        up(x);     改接树上结构需要up
    }
    splay(z);      access自带把x转上辅助树的树根
}

2， cut 断边

cut的条件：
1，y 所在的原树中的根是否是 x
2，y 的父节点是否是根 x
3，y 是否有左孩子（中序遍历紧挨在 x 的后面）

void cut(int x,int y)
{
    make_root(x);
    if(find_root(y)==x && tr[y].p==x && !tr[y].s[0])
    {
        tr[x].s[1]=tr[y].p=0;
        up(x);
    }
}

3，其他操作

int find_root(int x)/// 辅助树的root
{
    access(x);
    while (tr[x].s[0])
    {
        down(x); ///忘记2
        x=tr[x].s[0];
    }
    splay(x);
    return x;
}

void make_root(int x)/// 把x做成原树的根节点，需要反转整个中序遍历
{
    access(x);
    push_rev(x);///q1
}

void sign(int x,int y) ///把x到y的路径标记为实边
{
    make_root(x);
    access(y);
}

void link(int x,int y)
{
    make_root(x);
    if(find_root(y)!=x )tr[x].p=y;
}