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一、MA模型的定义
具有如下结构的模型称为q阶移动平均 (moving average) 模型，简记为 MA(q)
特别的，当??时，称为中心化 MA(q) 模型
中心化 MA(q) 模型：
引进延迟算子，可记为
简记为
q阶移动平均系数多项式：
二、MA模型的统计性质
1.常数均值
2.常数方差
?3.自协方差函数q阶结尾
则有自协方差函数的规律公式为：
4.自相关系数q阶截尾
常用的 MA 模型的自相关系数
通用：
MA(1)模型：
MA(2)模型：
举例：
MA(1)模型：
例1：
x1<-arima.sim(n=1000,list(ma=-2))
acf(x1)
返回：
由图可以大概看出，其余为0，与上面一阶公式所求结果一致，不要问偶咋看出来的哦。。。
例2：
x2<-arima.sim(n=1000,list(ma=-0.5))
acf(x2)
返回：
由图可以大概看出，其余为0，与上面一阶公式所求结果一致，不要问偶咋看出来的哦。。。?
MA(2)模型：
例3：
x3<-arima.sim(n=1000,list(ma=c(-4/5,16/25)))
acf(x3)返回：
由图可以大概看出，其余为0，与上面2阶公式所求结果一致，不要问偶咋看出来的哦。。。??
例4：
x4<-arima.sim(n=1000,list(ma=c(-5/4,25/16)))
acf(x4)
返回：
由图可以大概看出，其余为0，与上面2阶公式所求结果一致，不要问偶咋看出来的哦。。。??
三、MA模型的可逆?
? ? ? ? 为了保证一个给定的自相关系数能够对应唯一的模型，我们就要给模型增加约束条件 —— 可逆性条件
1.可逆的定义和条件
若一个MA模型能够表示为收敛的AR模型形式，那么该MA模型称为 MA模型称为可逆MA模型。
可逆概念得重要性：一个自相关系数唯一对应一个可逆MA模型。
MA(q)模型的可逆条件是：移动平均系数多项式的根都在单位圆外。
2.MA与AR模型的对比
3.逆函数的递推公式
待定系数法：
则可得如下：
举例：
逆转函数求解公式：
例1：
可得：
所以不可逆
例2:
可得：
所以可逆
所以有逆转形式计算如下：
再对上面进行整理可得：
逆转形式为：
例3：
?可得：
所以可逆
所以逆转形式计算如下：
再对上面进行整理可得：
逆转形式：
例4：
因为：
所以不可逆，也就没有逆转形式
四、MA模型的偏自相关系数拖尾
一个可逆MA(q)模型，可等价成AR()模型?
AR(p)模型偏自相关系数p阶截尾，所以可逆MA(q)模型偏自相关系数阶截尾，即具有偏自相关系数拖尾属性。
一个可逆MA(q)模型一定对应着一个与它具有相同自相关系数的偏自相关系数的不可逆MA(q)模型，这个不可逆MA(q)模型也同样具有偏自相关系数拖尾属性。
举例：
例1：MA(1)模型偏自相关系数的表达式
R举例：
下面的例子原始还是上面那四个，就不 一 一 介绍了。。。
例1：
对上式绘制偏自相关系数图：
x1<-arima.sim(n=1000,list(ma=-2))
pacf(x1)返回：
由图可以看出，具有一定的拖尾性，不太明显
小结
MA(q)模型
可逆条件：移动平均系数多项式的根都在单位圆外。
统计性质：
1.常数均值
2.常数方差
3.自协方差函数q阶截尾
4.自相关系数q阶截尾
5.截尾与拖尾性
