一、序列实偶 傅里叶变换 实偶
如果
x
(
n
)
x(n)
x(n) 序列 是 " 实序列 " , " 偶对称的 " , 则其傅里叶变换
X
(
e
j
ω
)
X(e^{j \omega})
X(ejω) 也是 " 实序列 " , " 偶对称的 " ;
二、序列实奇 傅里叶变换 虚奇
如果
x
(
n
)
x(n)
x(n) 序列 是 " 实序列 " , " 奇对称的 " , 则其傅里叶变换
X
(
e
j
ω
)
X(e^{j \omega})
X(ejω) 也是 " 虚序列 " , " 奇对称的 " ;
三、证明 " 序列实奇 傅里叶变换 虚奇 "
1、前置公式定理
①、序列实部傅里叶变换
x
(
n
)
x(n)
x(n) 序列的 实部
x
R
(
n
)
x_R(n)
xR?(n) 的 傅里叶变换 , 就是
x
(
n
)
x(n)
x(n) 的 傅里叶变换
X
(
e
j
ω
)
X(e^{j \omega})
X(ejω) 的 共轭对称序列
X
e
(
e
j
ω
)
X_e(e^{j \omega})
Xe?(ejω);
x
R
(
n
)
x_R(n)
xR?(n) 的 傅里叶变换
X
e
(
e
j
ω
)
X_e(e^{j \omega})
Xe?(ejω) 具备 共轭对称性 ;
x
R
(
n
)
?
S
F
T
X
e
(
e
j
ω
)
x_R(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_e(e^{j \omega})
xR?(n)?SFT?Xe?(ejω)
②、序列虚部傅里叶变换
x
(
n
)
x(n)
x(n) 序列的 虚部
x
I
(
n
)
x_I(n)
xI?(n) 的 傅里叶变换 , 就是
x
(
n
)
x(n)
x(n) 的 傅里叶变换
X
(
e
j
ω
)
X(e^{j \omega})
X(ejω) 的 共轭反对称序列
X
o
(
e
j
ω
)
X_o(e^{j \omega})
Xo?(ejω);
j
x
I
(
n
)
jx_I(n)
jxI?(n) 的 傅里叶变换
X
o
(
e
j
ω
)
X_o(e^{j \omega})
Xo?(ejω) 具备 共轭反对称性 :
j
x
I
(
n
)
?
S
F
T
X
o
(
e
j
ω
)
jx_I(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_o(e^{j \omega})
jxI?(n)?SFT?Xo?(ejω)
③、共轭对称序列傅里叶变换
x
(
n
)
x(n)
x(n) 的 共轭对称序列
x
e
(
n
)
x_e(n)
xe?(n) 的 傅里叶变换 , 一定是一个 实序列
X
R
(
e
j
ω
)
X_R(e^{j \omega})
XR?(ejω)
x
e
(
n
)
?
S
F
T
X
R
(
e
j
ω
)
x_e(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_R(e^{j \omega})
xe?(n)?SFT?XR?(ejω)
④、共轭反对称序列傅里叶变换
x
(
n
)
x(n)
x(n) 的 共轭反对称序列
x
o
(
n
)
x_o(n)
xo?(n) 的 傅里叶变换 , 一定是一个 纯虚序列
X
R
(
e
j
ω
)
X_R(e^{j \omega})
XR?(ejω)
x
o
(
n
)
?
S
F
T
j
X
I
(
e
j
ω
)
x_o(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow jX_I(e^{j \omega})
xo?(n)?SFT?jXI?(ejω)
2、证明过程
实序列 傅里叶变换
x
(
n
)
x(n)
x(n) 为 " 实序列 " ,
根据
x
(
n
)
x(n)
x(n) 序列的 实部
x
R
(
n
)
x_R(n)
xR?(n) 的 傅里叶变换 , 就是
x
(
n
)
x(n)
x(n) 的 傅里叶变换
X
(
e
j
ω
)
X(e^{j \omega})
X(ejω) 的 共轭对称序列
X
e
(
e
j
ω
)
X_e(e^{j \omega})
Xe?(ejω);
x
R
(
n
)
x_R(n)
xR?(n) 的 傅里叶变换
X
e
(
e
j
ω
)
X_e(e^{j \omega})
Xe?(ejω) 具备 共轭对称性 的特征 :
x
R
(
n
)
?
S
F
T
X
e
(
e
j
ω
)
x_R(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_e(e^{j \omega})
xR?(n)?SFT?Xe?(ejω)
性质 , 其 傅里叶变换
X
(
e
j
ω
)
X(e^{j \omega})
X(ejω) 有如下特性 :
X
(
e
j
ω
)
=
X
?
(
e
?
j
ω
)
X(e^{j \omega}) = X^*(e^{-j \omega})
X(ejω)=X?(e?jω)
奇对称序列 傅里叶变换
x
(
n
)
x(n)
x(n) 序列是 " 奇对称 " 的 ,
根据
x
(
n
)
x(n)
x(n) 的 共轭反对称序列
x
o
(
n
)
x_o(n)
xo?(n) 的 傅里叶变换 , 一定是一个 纯虚序列
X
R
(
e
j
ω
)
X_R(e^{j \omega})
XR?(ejω)
x
o
(
n
)
?
S
F
T
j
X
I
(
e
j
ω
)
x_o(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow jX_I(e^{j \omega})
xo?(n)?SFT?jXI?(ejω)
性质 , 其 傅里叶变换
X
(
e
j
ω
)
X(e^{j \omega})
X(ejω) 有如下特性 :
X
(
e
j
ω
)
=
j
X
I
(
e
j
ω
)
X(e^{j \omega}) = jX_I(e^{j \omega})
X(ejω)=jXI?(ejω)
前面加了
j
j
j , 说明
X
I
(
e
j
ω
)
X_I(e^{j \omega})
XI?(ejω) 是实的 ,
j
X
I
(
e
j
ω
)
jX_I(e^{j \omega})
jXI?(ejω) 是虚的 ;
实序列 奇对称序列 的 傅里叶变换 虚奇 特征
结合上述 " 实序列 傅里叶变换
X
(
e
j
ω
)
=
X
?
(
e
?
j
ω
)
X(e^{j \omega}) = X^*(e^{-j \omega})
X(ejω)=X?(e?jω) " 和 " 奇对称序列 傅里叶变换
X
(
e
j
ω
)
=
j
X
I
(
e
j
ω
)
X(e^{j \omega}) = jX_I(e^{j \omega})
X(ejω)=jXI?(ejω) " ,
对
j
X
I
(
e
j
ω
)
jX_I(e^{j \omega})
jXI?(ejω) 取共轭 , 然后将
ω
\omega
ω 取反 , 可得到
X
?
(
e
?
j
ω
)
=
j
X
I
(
e
j
ω
)
=
?
j
X
I
(
e
?
j
ω
)
X^*(e^{-j \omega}) = jX_I(e^{j \omega}) = -jX_I(e^{-j \omega})
X?(e?jω)=jXI?(ejω)=?jXI?(e?jω)
将
j
X
I
(
e
j
ω
)
=
?
j
X
I
(
e
?
j
ω
)
jX_I(e^{j \omega}) = -jX_I(e^{-j \omega})
jXI?(ejω)=?jXI?(e?jω) 中的
j
j
j 去掉 , 可得到
X
I
(
e
j
ω
)
=
?
X
I
(
e
?
j
ω
)
X_I(e^{j \omega}) = -X_I(e^{-j \omega})
XI?(ejω)=?XI?(e?jω)
X
I
(
e
j
ω
)
X_I(e^{j \omega})
XI?(ejω) 和
?
X
I
(
e
?
j
ω
)
-X_I(e^{-j \omega})
?XI?(e?jω) 都是实数 , 这是奇函数的特征 ;
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