I.归并排序

基础知识

1.算法思路：

核心思想：分治

利用划分子序列的方法递归实现。首先把整个待排序序列划分为两个长度大致相等的子序列，对这两个子序列分别递归地进行排序，然后再把他们归并

重点操作：归并

将待排序的序列中前后相邻的两个有序序列归并为一个有序序列

过程：

（1）确定分界点：mid=(l+r)/2

将当前序列一分为二，求出分裂点mid=(l+r)/2

（2）递归归并排序左区间、右区间

通过一层一层地递归，可以将一开始地左右两段区间序列再次左右拆分，知道递归搜索拆分成前后相邻的几个有序序列为止，然后再回溯一步步执行下面的比较合并

（3）归并——合二为一（难点），将两个有序序列合二为一

实现：双指针算法

对于已知的两个排好序的有序序列，并且他们是相邻的。设有两个指针（表示下标）分别指向各自序列中的最小值。每次都是从两个序列中找指针所指的最小值进行比较（两个指针一直都指向所在序列中的最小值），将较小者放到开好的结果数组里，然后该指针向后移动一次，重复此过程，知道其中一个表序列为空，最后将另一非空表中余下的部分直接复制到结果数组中。

2.代码模板：

int q[N];
int t[N];
void mergesort(int q[],int l,int r)   //如果q[]定义为全局数组，可以在传递参数时省略void mergesort(int l,int r) 
{
	if(l>=r) return;  //递归边界：说明当前区间中元素个数为一个或者一个都没有了，return掉
	
	//确定分界点
	int mid=(l+r)>>1;  
	
	//递归排序左区间、右区间
	mergesort(q,l,mid);
	mergesort(q,mid+1,r);
	
	//归并
	int k=0,i=l,j=mid+1; //k表示当前t结果数组中已经存多少数了，为下标遍历;i和j分别代表两个指针下标，i指向左半边起点，j指向右半边起点
	while(i<=mid&&j<=r)//判断两个序列中当前值谁更小，把较小的放到t[]数组中
	{
		if(q[i]<q[j])  
			t[k++]=q[i++];
		else
			t[k++]=q[j++];
	}
	while(i<=mid) t[k++]=q[i++];  //如果剩余左半边序列非空，则将其余下的部分直接复制到结果数组中。
	while(j<=r) t[k++]=q[j++];   //如果剩余右半边序列非空，则将其余下的部分直接复制到结果数组中。
	
	//因为结果存到t[]中去了，再将其复制到q[]数组中 
	for(int i=l,j=0;i<=r;i++,j++) q[i]=t[j];
	//这一步也可以省略，在main()函数中输出时直接将t[]结果数组输出也可
	
 }

3.时间复杂度:

O(nlogn)

4.稳定性

归并排序是稳定的

如何看一个排序稳定不稳定？

一个排序算法是稳定的并不是说它的时间效率是稳定的。稳定是指如果原序列中的两个值相同的，经过排序之后，它们的位置没有发生变化，那么这个排序就是稳定的。它们的位置如果可能会发生变化，那么这个排序就是不稳定的。

5.与快速排序的区别与联系：

①快排的主要思想也是分治，但与归并排序的分治方法不同。

快排的分界点是用一个数x（数组里随机一个数值）来分，分完之后让左边都是小于等于x，右边都是大于等于x；而归并排序的分界点是以整个数组的中心位置（下标的中间值），分为左区间和右区间。

②快排的最复杂的核心操作是第二步划分：把当前区间划分为两段；而归并排序最复杂的核心操作是第三步归并：把各个相邻的有序序列合并成一个序列。

③快排是先划分两边，然后递归排序；而归并排序是先递归排序左右区间序列，然后合并

④快排和归并排序的时间复杂度都是O(nlogn)。

归并排序的时间复杂度是妥妥的O(nlogn)，而快速排序的平均时间复杂度是O(nlogn)，最坏时间复杂度为O(n*n)

⑤快排是不稳定的，而归并排序是是稳定的。

例题

一、归并排序

1.基本思路

如上

2.代码

#include <iostream>
using namespace std;
const int N=100010;

int q[N];
int t[N];
void mergesort(int q[],int l,int r)   //如果q[]定义为全局数组，可以在传递参数时省略void mergesort(int l,int r) 
{
	if(l>=r) return;  //递归边界：说明当前区间中元素个数为一个或者一个都没有了，return掉
	
	//确定分界点
	int mid=(l+r)>>1;  
	
	//递归排序左区间、右区间
	mergesort(q,l,mid);
	mergesort(q,mid+1,r);
	
	//归并
	int k=0,i=l,j=mid+1; //k表示当前t结果数组中已经存多少数了，为下标遍历;i和j分别代表两个指针下标，i指向左半边起点，j指向右半边起点
	while(i<=mid&&j<=r)//判断两个序列中当前值谁更小，把较小的放到t[]数组中
	{
		if(q[i]<q[j])  
			t[k++]=q[i++];
		else
			t[k++]=q[j++];
	}
	while(i<=mid) t[k++]=q[i++];  //如果剩余左半边序列非空，则将其余下的部分直接复制到结果数组中。
	while(j<=r) t[k++]=q[j++];   //如果剩余右半边序列非空，则将其余下的部分直接复制到结果数组中。
	
	//因为结果存到t[]中去了，再将其复制到q[]数组中 
	for(int i=l,j=0;i<=r;i++,j++) q[i]=t[j];
	//这一步也可以省略，在main()函数中输出时直接将t[]结果数组输出也可
	
 } 
 
 int main()
 {
     int n;
     cin>>n;
     for(int i=0;i<n;i++) cin>>q[i];
     
     mergesort(q,0,n-1);
     
     for(int i=0;i<n;i++) cout<<q[i]<<" ";
     //for(int i=0;i<n;i++) cout<<t[i]<<" ";
     return 0;
 }

二、逆序对的数量

1.基本思路

逆序对是在排序的过程中求中的。

一共分成三类：

①两个元素都在左边；
②两个元素都在右边；
③两个元素一个在左一个在右；

其中前两类可以递归，另一类在归并的时候可以求，所以只需在排序计算第三种情况时加一个统计即可。

为什么可以排序？

这个时候我们注意到一个很重要的性质，左右半边的元素在各自任意调换顺序，是不影响第三步计数的，因此我们可以数完就给它排序。这么做的好处在于，如果序列是有序的，会让第三步计数很容易。

交换顺序会影响第一第二步的计数，但不会影响第三步，由于交换顺序在第一二步后发生，所以不会影响最终结果。

为什么第一种和第二种情况就可以自动算出来呢？

第三步理解了就好了，因为我们是归并思想，最终是要把左边递归到只有一个数的区间，这样左边第一个区间和第二个区间就可以算出逆序对的数量。然后再一层一层回溯回去。即这题的递归界限就是当区间只有一个数的时候，回忆归并排序。

2.代码

//暴力做法，会超时
#include <iostream>
using namespace std;

const int N=100010;
int q[N];
int n;
long long int res;
int main()
{
    cin >> n;

    for(int i=0;i<n;i ++) cin>>q[i];

    for(int i=0;i<n-1;i ++)
    {
        for(int j=i+1;j<n;j++)
        {
             if(q[i]>q[j]) 
             {
                 res++;
             }
        }
    }
    cout<<res;
    return 0;
}

//归并排序解法

#include <iostream>
using namespace std;
const int N=100010;

int q[N];
int t[N];
long long int res;//注意范围
void mergesort(int q[],int l,int r)   //如果q[]定义为全局数组，可以在传递参数时省略void mergesort(int l,int r) 
{
	if(l>=r) return;  //递归边界：说明当前区间中元素个数为一个或者一个都没有了，return掉
	
	//确定分界点
	int mid=(l+r)>>1;  
	
	//递归排序左区间、右区间
	mergesort(q,l,mid);
	mergesort(q,mid+1,r);
	
	//归并
	int k=0,i=l,j=mid+1; //k表示当前t结果数组中已经存多少数了，为下标遍历;i和j分别代表两个指针下标，i指向左半边起点，j指向右半边起点
	while(i<=mid&&j<=r)//判断两个序列中当前值谁更小，把较小的放到t[]数组中
	{
		if(q[i]<=q[j]) //注意这里一定是小于等于，少了等号会导致相同的数也被计算了数对
		{
		    t[k++]=q[i++];
		}
		else              //在归并的过程中 i < j，此时q[i]>q[j]，这样在[i，mid]中的数都与q[j]构成逆序对
	    {
	        t[k++]=q[j++];
	        res+=mid-i+1; //统计
	    }
			
	}
	while(i<=mid) t[k++]=q[i++];  //如果剩余左半边序列非空，则将其余下的部分直接复制到结果数组中。
	while(j<=r) t[k++]=q[j++];   //如果剩余右半边序列非空，则将其余下的部分直接复制到结果数组中。
	
	//因为结果存到t[]中去了，再将其复制到q[]数组中 
	for(int i=l,j=0;i<=r;i++,j++) q[i]=t[j];
	//这一步也可以省略，在main()函数中输出时直接将t[]结果数组输出也可
	
 } 
 
 int main()
 {
     int n;
     cin>>n;
     for(int i=0;i<n;i++) cin>>q[i];
     
     mergesort(q,0,n-1);
     
     cout<<res;
     return 0;
 }