零、前言
本章主要讲解map和set的底层结构平衡二叉搜索树的一种-AVL树的特性及其实现
一、AVL树的概念
- 引入：
map/multimap/set/multiset其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷
假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)
因此map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现
- 概念：
对于数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树的情况，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年
发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
- 一棵AVL树或者是空树或者是具有以下性质的二叉搜索树：
它的左右子树都是AVL
树左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
- 示图：
注：如果一棵二叉搜索树是高度可保持在1(-1/0/1)，则非常接近完全二叉树 ，搜索时间复杂度O(logN)
二、AVL树结点定义
为了方便找到子树对应的父亲节点，这里我们选择使用三叉链结构
- 代码实现：
template<class T>
struct AVLTreeNode
{
//三叉链
AVLTreeNode<T>* _left;
AVLTreeNode<T>* _right;
AVLTreeNode<T>* _parent;
int _bf;//平衡因子
T _kv;//T可以是key也可以是pair<K,V>类型便于封装成map或set
AVLTreeNode(const T& t)
:_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_parent(nullptr)
,_bf(0)
,_kv(t)
{}
};
三、AVL树的插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树
- 那么AVL树的插入过程：
- 首先按照二叉搜索树的方式插入新节点
- 待插入结点的key值比当前结点小就插入到该结点的左子树
- 待插入结点的key值比当前结点大就插入到该结点的右子树
- 待插入结点的key值与当前结点的key值相等就插入失败
- 示例：插入12
- 插入后则向上调整当前结点到根路径上祖先结点的平衡因子
- 示图：
平衡因子数值=右子树高度-左子树的高度
- 平衡因子更新规则：
1.如果新增结点在祖父节点的左子树中，则父节点平衡因子数值减1
2.如果新增结点在祖父节点的右子树中，则父节点平衡因子数值加1
- 平衡因子更新后处理规则：
1.更新后平衡因子为1或-1，那么说明该平衡因子更新前为0，子树的高度发生变化，则也会影响父亲结点的平衡因子，继续向上更新平衡因子
2.更新后平衡因子为0，那么说明该平衡因子更新前为1或-1，子树的高度未发生变化，则也不会影响父亲结点的平衡因子，停止向上更新平衡因子
3.更新后平衡因子为2或-2，那么当前子树不符合AVL树的规则，需要进行旋转子树进行调节高度
注：更新平衡因子之前，该树本身就满足AVL树的规则，平衡因子为1或0或-1
- 示图：
实现代码：
pair<Node*, bool> Insert(const pair<K,V>& kv)
{
if (_root == nullptr)//空树的情况
{
_root = new Node(kv);
return make_pair(_root, true);
}
//插入需要链接父子节点，但是插入的位置是空节点，需要另一个指针记录父结点
Node* cur = _root, *parent = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else//找到了相同的
{
return make_pair(cur,false);
}
}
//找到插入位置，创建链接节点
cur = new Node(kv);
Node* newnode = cur;//记录新结点地址，便于返回
if (parent->_kv.first > kv.first)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
cur->_parent = parent;
//向上更新平衡因子
while (cur != _root)
{
if (parent->_right == cur)
{
parent->_bf++;
}
else
{
parent->_bf--;
}
if (parent->_bf == 0)//子树高度不变，不影响上面路径的结点平衡因子
{
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)//子树高度改变，继续向上更新节点平衡因子
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)//子树已经不平衡了,需要进行旋转处理
{
if (parent->_bf == -2)
{
if (cur->_bf == -1)//右单旋
{
RotateR(parent);
}
else//左右双旋
{
RotateLR(parent);
}
}
else
{
if (cur->_bf == 1)//右单旋
{
RotateL(parent);
}
else//右左双旋
{
RotateRL(parent);
}
}
break;
}
else//已经出错了
{
assert(false);
}
}
return make_pair(newnode, true);
}
四、AVL树的旋转
如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡
- 根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：
- 新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋
1、左单旋
- 抽象示图：
- 注意：
- 上图在插入前AVL树是平衡的，新节点插入到60的右子树(注意：此处不是有孩子)中，60右子树增加了一层，导致以30为根的二叉树不平衡
- 要让30平衡，只能将30右子树的高度减少一层，左子树增加一层，即将右子树往上提，这样30转下来，因为30比60大=小，只能将其放在60的左子树，而如果60有左子树，左子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在30的右子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可
- 对于a,b,c都是符合AVL树且高度为h的树的一种，这里不具体表示，以抽象表示各种情况，对于以下抽象图示也是如此
- 在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
60节点的左孩子可能存在，也可能不存在
30可能是根节点，也可能是子树：如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点；如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树，需要更新父结点的左右结点地址
旋转后，子树得到平衡，两个旋转结点的平衡因子更新为0，而高度没有改变，不用再向上更新结点平衡因子
- 实例示图：
- 实现代码：
// 左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
//记录节点信息
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
Node* parentP = parent->_parent;
//修改链接关系
parent->_right = subRL;
if (subRL)//避免为空节点的情况
subRL->_parent = parent;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
//讨论父节点的情况
if (parent == _root)
{
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parentP->_left == parent)
{
parentP->_left = subR;
}
else
{
parentP->_right = subR;
}
subR->_parent = parentP;
}
//更新平衡因子
subR->_bf = parent->_bf = 0;
}
- 新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋
2、右单旋
注：具体思路和步骤可以参考左单旋
- 抽象示图：
- 实例示图：
- 实现代码：
// 右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
//记录节点信息
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
Node* parentP = parent->_parent;
//修改链接关系
parent->_left = subLR;
if (subLR)//避免为空节点的情况
subLR->_parent = parent;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
//讨论父节点的情况
if (parent == _root)
{
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parentP->_left == parent)
{
parentP->_left = subL;
}
else
{
parentP->_right = subL;
}
subL->_parent = parentP;
}
//更新平衡因子
subL->_bf = parent->_bf = 0;
}
- 新节点插入较高左子树的右侧**—**左右：先左单旋再右单旋
3、左右双旋
- 抽象示图：
- 注意：
将双旋变成单旋后再旋转，即先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新（并不都为0，具体情况具体分析）
复用单旋会把其他情况都给处理，例如子树是否为空，当前不平衡结点为根结点还是子树结点
对于h高度的子树，h满足大于等于0，当h=0时，插入新节点就是60
左右双旋可以看做是60做当前树的根结点，并将左子树给给30结点，将右子树给给90结点
- 旋转后更新平衡因子具有三种情况：
插入结点就是不平衡结点的subLR（左子结点的右子结点），30,60,90都更新为0
插入结点为不平衡结点的subLR的左子结点，30,60更新为0，90更新为1
插入结点就是不平衡结点的subLR的右子节点，90,60更新为0，30更新为-1
- 实例示图：h为0的情况
- 实现代码：
// 左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{
//记录节点地址和平衡因子
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
//旋转
RotateL(subL);
RotateR(parent);
//处理平衡因子
if (bf == -1)//新增节点为subLR的左子树
{
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
subL->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)//新增节点为subRL的右子树
{
subL->_bf = -1;
parent->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)//新增节点就是subRL
{
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
}
else //旋转之前就已经存在错误了
{
assert(false);
}
}
- 新节点插入较高右子树的左侧**—**右左：先右单旋再左单旋
4、右左双旋
- 抽象示图：
注：具体情况可以参考左右双旋
- 实例示图：
- 实现代码：
// 右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{
//记录节点地址和平衡因子
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
//旋转
RotateR(subR);
RotateL(parent);
//处理平衡因子
if (bf == -1)//新增节点为subLR的左子树
{
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
}
else if (bf == 1)//新增节点为subLR的右子树
{
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
subR->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)//新增节点就是subLR
{
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
}
else //旋转之前就已经存在错误了
{
assert(false);
}
}
5、总结
- 假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑：
- pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR
当SubR的平衡因子为1时，执行左单旋
当SubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋
- pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL
当SubL的平衡因子为-1是，执行右单旋
当SubL的平衡因子为1时，执行左右双旋
从视角上来看，当旋转相关结点成直线，则进行单旋；当旋转相关结点成折线，则进行双旋
旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新
五、AVL树的验证
AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制
- 要验证AVL树可以分两步：
- 验证其为二叉搜索树
如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
- 实现代码：
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_kv.first << " : " << root->_kv.second << endl;
_InOrder(root->_right);
}
- 验证其为平衡树
每个结点子树高度差的绝对值不超过1(注意结点中如果没有平衡因子)以及结点的平衡因子是否计算正确
- 实现代码：
//验证pRoot是否为有效的AVL树
bool _IsAVLTree(Node* root)
{
//空树
if (root == nullptr)
return true;
//比较高度
int heightL = _Height(root->_left);
int heightR = _Height(root->_right);
//检查平衡因子是否有误
if (heightR - heightL != root->_bf)
{
cout << "平衡因子错误：" << root->_kv.first << endl;
return false;
}
return abs(heightR - heightL) < 2
&& _IsAVLTree(root->_left)
&& _IsAVLTree(root->_right);//递归检查左右子树
}
//高度
size_t _Height(Node* root)
{
//空节点
if (root == nullptr)
return 0;
size_t left = _Height(root->_left);
size_t right = _Height(root->_right);
return left > right ? left + 1 : right + 1;
}
六、AVL树的性能
- 分析：
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度logN
但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置
- 总结：
如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合