时间复杂度

评价一个算法好坏有两个角度，时间和空间，但是由于计算机行业硬件的发展，空间已经不再是我们讨论的主要问题，时间才是。
那么时间复杂度到底是啥？
从字面上意思看，就是一个算法在机器上运行所花费的时间，某种意义上看可以但是我们不得不重视一个问题，不同机器的硬件水平是不一样的，你拿校长的电脑和我们普通人电脑的运行速度比较，那没有可比性的hh，
因此： 一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度
即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N) 
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
 {
 for (int j = 0; j < N ; ++ j)
 {
 ++count;
 }
}//这个循环  N^2
 
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
 {
 ++count; //这个循环   2N
 }
int M = 10;
while (M--)
   {
      ++count;//这个循环就是10；
   }
 }

根据上述表述，我们可以得出这个算法的时间复杂度函数表示：
F(N) = N^2+2N+10;
但要是每个算法的时间复杂度都这样算，那就太麻烦了，因此引进了一个概念——渐进时间复杂度也就是常看到的大O的渐进表示法。
在这之前我们稍微看下列讨论
N = 10 F(N) = 130
N = 100 F(N) = 10210
N = 1000 F(N) = 1002010
随着N的值越来越大，后面两项对时间的影响几乎可以忽略不记了
因此如果用大0渐进表示法的话这个算法是O（N^2）；
进而引出表示规则：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数即O（1）；
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
我们可以举个例子说明一下什么叫O（1）

int M = 10;
 while (M--)
 {
 ++count;
 }

因为这个数字是确定的，不管是10还是1000还是多少，只要是一个确定的数字，那么时间复杂度就是O（1）；
规则2我在上面已经说明了
*规则三：
*当数字达到一定程度，(N^2)
(2N^2) 应该没什么区别嘛所以才日常中，我们为了表示方便，两种时间复杂度，只要他们最高次项相同，那么我们直接省略前面的阿拉伯数字

long long Fib(size_t N) {
 if(N < 3)
 return 1;
 
 return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

这是著名的斐波拉且数
第一次学的递归就是它，但是学过它的都知道，这个算法并不好，学了时间复杂度我们可以知道这个算法的渐进时间复杂度是（2^N)
我们将每一次递归设置成单位1
（因为函数中变量什么的都是一样的所以我们假设一次函数递归是1）但是每次递归的递归是 2 依次乘2 直到最后递归到底一直乘2 所以这个算法的渐进时间复杂度是2^N；
注
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

空间复杂度

空间复杂度，虽然说现在评价一个算法体系占比不大，但是有的算法题还是要求掌握的。
先上下空间复杂度的定义：
空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。
空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因
此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。
重要的事情再强调一遍！！！ 额外空间*

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n) {
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end) 
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }
}

我们可以看出上面的冒泡排序空间复杂度是O（1）；
只额外定义了一个变量exchange
也许有铁子有疑惑，这个change变量每次循环他都会创建啊，循环结束栈区回收，循环N次的话那么空间复杂度是O（N）啊这边博主引用之前看到的一句话（具体在哪看到的我也忘记了）

时间一去不复返，是累积的，但是空间回收之后是可以重复利用的！

我可以举一个代码例子来阐述这个问题

long long Fac(size_t N) {
 if(N == 0)
 return 1;
 
 return Fac(N-1)*N; }

这个空间复杂度是O（N）没问题

那么下面的这个呢？

long long Fib(size_t N) {
 if(N < 3)
 return 1;
 
 return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

你可能会下意识的反应空间复杂度是O（N^2）就和它的时间复杂度一样

但是我要告诉你的是O（N）
为什么会这样呢？

在这里插入图片描述
第一步先调用F（N-1）栈区为它开辟空间但是调用结束后回收空间再给F（N-2）因为栈区为他们开辟的空间是相同的所以给他们的空间可以大致认为是同一个，因此，每次额外开辟的空间都是1 而不是2 所以空间复杂度是O（N）；
我再举个例子来阐述一下
在这里插入图片描述
因为fun1 的函数栈帧和fun2的函数栈帧是一样的
所以可以看出给他们分配的地址是一样的
函数栈帧（可以简单的理解成函数内部开辟的变量个数顺序）
注意：必须是函数栈帧相同的函数才相同不然是不同的！