416. 分割等和子集
题目描述
给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
示例 1：
输入：nums = [1,5,11,5]
输出：true
解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。
示例 2：
输入：nums = [1,2,3,5]
输出：false
解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。
思路分析
本题要求集合里能否出现总和为 sum / 2 的子集。
只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。
- 背包的体积为sum / 2
- 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
- 背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
- 背包中每一个元素是不可重复放入。
动规五部曲
- 确定dp数组以及下标含义
01背包中,dp[j]表示:容量为j的背包,所背的物品最大价值为dp[j].
回到本题,dp[j]表示:背包总容量为j,最大可以凑成j的子集总和为dp[j]
- 确定递推公式
本题中,背包中放入数值,那么物品i的重量是nums[i],其价值也是nums[i]
所以递归公式: dp[j] = max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i])
3.dp数组如何初始化
当背包容量为0时,放入数值的总和为0,所以 dp[0] = 0
- 确定遍历顺序
根据卡尔大佬的 动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） 的讲解,如果使用一维dp数组,物品遍历的for循环放在外层,遍历背包的for循环放在内层,且内层for循环倒序遍历.
- 举例推导dp数组
参考代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool canPartition(vector<int>& nums) {
int sum = 0;
for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
sum+=nums[i];
}
if(sum % 2 == 1) { //如果之和是奇数,则无法分割成两个相同的子集.
return false;
}
int target = sum / 2;
vector<int> dp(10001,0);//定义dp
dp[0] = 0;//初始化dp[0]
for(int i = 0; i < nums.size(); i++) { //遍历集合所有数
for(int j = target; j >=nums[i]; j--) { //遍历背包大小. 只有背包体积>=num[i],当前价值才可能更新,否则和上一个一样.
dp[j] = max(dp[j],dp[j-nums[i]] + nums[i]);
}
}
if(dp[target]==target) { //如果背包可以放下target的数,则说明可以分割.
return true;
}
return false;
}
1049. 最后一块石头的重量 II
题目描述
有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。
每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：
- 如果
x == y，那么两块石头都会被完全粉碎； - 如果
x != y，那么重量为x的石头将会完全粉碎，而重量为y的石头新重量为y-x。
最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。
示例 1：
输入：stones = [2,7,4,1,8,1]
输出：1
解释：
组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。
示例 2：
输入：stones = [31,26,33,21,40]
输出：5
示例 3：
输入：stones = [1,2]
输出：1
思路分析
本题其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，这样就化解成01背包问题了。
这就和上面的 416. 分割等和子集 (opens new window) 非常像了。
动归五部曲
- 确定dp数组以及下标含义
dp[j]表示容量为j的背包,最多可以背dp[j]这么重的石头
- 确定递推公式
本题和上题类似,上题是子集一半,本题是一半石头. 递推公式: dp[j] = max(dp[j],dp[j-nums[i]] + nums[i]);
- dp数组如何初始化
提示中给出1 <= stones.length <= 30，1 <= stones[i] <= 1000，所以最大重量就是30 * 1000 。
而我们要求的target其实只是最大重量的一半，所以dp数组开到15000+1大小就可以了。
然后是dp初始化,因为重量都是 > 0,所以dp[0] = 0
- 确定遍历顺序
根据卡尔大佬的 动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） 的讲解,如果使用一维dp数组,物品遍历的for循环放在外层,遍历背包的for循环放在内层,且内层for循环倒序遍历.
- 举例推导dp数组
以两个例子演示dp数组的推导过程,如下:
参考代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//打印dp数组
void print(vector<int>& dp,int& num,int& target ){
cout<<"dp["<<num<<"]: ";
for(int i = 0; i <= target;i++){
cout<<dp[i]<<" ";
}
cout<<endl;
}
int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
int sum = 0;
for(int i = 0; i < stones.size(); i++) {
sum+=stones[i];
}
int target = sum / 2;
// cout<<"石头之和为:"<<sum<<endl;
vector<int> dp(15001,0);
for(int i = 0;i < stones.size(); i++){
for(int j = target; j >=stones[i]; j--){
dp[j] = max(dp[j],dp[j-stones[i]]+stones[i]) ;
}
// print(dp,i,target); //打印输出
}
return sum-dp[target]-dp[target];
}
int main(){
// vector<int> stones = {2,7,4,1,8,1};
vector<int> stones = {2,4,1,1};
lastStoneWeightII(stones);
return 0;
}
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