[数据结构与算法]AcWing 225. 矩阵幂求和(矩阵快速幂 + 分治)

首先我们了解一下单位矩阵的概念,

在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1，这种矩阵被称为单位矩阵。它是个方阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1。除此以外全都为0。

根据单位矩阵的特点，任何矩阵与单位矩阵相乘都等于本身.

?简单来说,单位矩阵就相当于乘法中的1.

用E表示单位矩阵:

当k为偶数时:

?当k为奇数时:

代码实现如下:

#include <bits/stdc++.h>
#define vec vector<int>
#define mat vector<vec>
using namespace std;
int n, m, k;
mat E;
mat add(mat a, mat b){
    mat ans(n, vec(n));
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        for (int j = 0; j < n; ++j)
            ans[i][j] = (a[i][j] + b[i][j]) % m;
    return ans;
}
mat mul(mat a, mat b){
    mat ans(n, vec(n));
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        for (int j = 0; j < n; ++j)
            for (int k = 0; k < n; ++k)
                ans[i][j] = (ans[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % m;
    return ans;
}
mat qmi(mat a, int k){
    mat ans = E;
    while (k){
        if (k & 1)
            ans = mul(ans, a);
        k >>= 1;
        a = mul(a, a);
    }
    return ans;
}
mat sum(auto a, int k){
    if (k <= 1)
        return a;
    if (k & 1){
        auto b = qmi(a, (k + 1) / 2);
        auto c = sum(a, (k - 1) / 2);
        return add(b, mul(add(E, b), c));   
    } else{
        auto b = sum(a, k / 2);
        return mul(add(qmi(a, k / 2), E), b);
    }
}
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    while (cin >> n >> k >> m){
        mat a(n, vec(n));
        //单位矩阵
        E.resize(n, vec(n));
        for (int i = 0; i < n; ++i)
            E[i][i] = 1;
        for (int i = 0; i < n; ++i)
            for (int j = 0; j < n; ++j)
                cin >> a[i][j];
        auto ans = sum(a, k);
        for (int i = 0; i < n; ++i){
            for (int j = 0; j < n; ++j)
                cout << ans[i][j] << " ";
            cout << "\n";
        }
    }
    
    
}

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