摘要：

本文研究了在秩最多为r的n×m矩阵集上使一般目标函数f(X)最小化的一般秩约束优化问题。为了解决秩约束并减少计算负担，我们将X分解为UVT，其中U和V分别是n×r和m×r矩阵，然后对小矩阵U和V进行优化。我们描述的全局非凸分解问题的优化几何，表明相应的目标函数满足鲁棒严格的鞍属性robust strict saddle property 只要原始目标函数f满足限制强凸性restricted strong convexity和平滑特性smoothness properties，确保全局收敛的许多局部搜索算法（如噪声梯度下降）在多项式时间解决分解问题。我们还提供了一个矩阵分解问题的优化几何的全面分析，我们的目标是找到n×r和m×r矩阵U和V，使UVT近似于给定的矩阵X*。除了鲁棒严格鞍性质外，我们证明了矩阵分解问题的目标函数没有伪局部极小值spurious local minima，并且不仅在rank(X?*?)= r的精确参数化情况下服从严格鞍性质，也对于过参数化的情况rank(X?*?)<?r和欠参数化的情况下rank(X?*?)>r.这些几何性质表明，许多迭代优化算法（如梯度下降）收敛到一个具有随机初始化的全局解。

INTRODUCTION

低秩矩阵在科学和工程中广泛应用，包括量子层析扫描[1]、信号处理[2]、机器学习[3]、[4]等；参见[5]的综述。在所有这些设置中，我们经常遇到以下秩约束优化问题：

无论目标函数f是凸的还是非凸的，秩约束使（1）的低秩矩阵优化?高度非凸，在一般的[6]【Rank minimization and applications in system theory】中从计算复杂度方面上讲是NPhard。通过替换涉及核范数的秩约束，将（1）转化为凸问题，已经付出了大量的努力。该策略已被广泛应用于矩阵逆问题[7]，产生于信号处理[5]、机器学习[8]和控制[6]中。利用凸分析技术，证明了核范数最小化在恢复低秩矩阵[9]方面具有最优的性能。然而，尽管性能最优，求解核范数最小化是非常昂贵的计算，即使使用专门的一阶算法。例如，奇异值阈值化算法[10]需要在每次迭代中执行昂贵的奇异值分解(SVD)，这使得它在大规模设置中无法进行计算。这就防止了核规范最小化扩展到实际问题。

为了缓解计算瓶颈，最近的研究提出将变量分解为X=UVT，并对n × r和m× r

矩阵U和V进行优化，而不是n×m的矩阵X。然后通过因式分解自动满足（1）中的秩约束。这种策略通常被称为?钻机-蒙泰罗型分解Burer-Monteiro type decomposition?，在作者在写了[11]，[12]后。在（1）中插入X的参数化，我们可以将程序重铸为以下程序：