[数据结构与算法]RMQ算法思想的总结与归纳

RMQ (Range Minimum/Maximum Query)问题是指：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n)，返回数列A中下标在i,j里的最小(大）值，也就是说，RMQ问题是指求区间最值的问题。

题目引入：AcWing 1273. 天才的记忆

本题目就是RMQ模板题（本质上是一个dp题），其目的是要求区间内的最大值，并有多次询问操作。

我们定义一个二维数组dp[i][j]表示从第i位开始，长度为中最大值是多少

例如，dp[3][2]表示从a[3]开始，到a[3+-1]中最大值是多少。

状态转换：dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i+-1][j-1])

部分代码解释：

?? for(int j = 0;j<18;j++){//这里18是因为数字的数量不会超过2的18次方
??????? for(int i = 1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
??????????? if(!j)f[i][j] = a[i];//长度为1时，值就是a[i]
??????????? else f[i][j] = max(f[i][j-1],f[i+(1<<j-1)][j-1]);
??? }

查询操作：

当我们需要寻找区间[l,r]内的最大值，我么可以认为区间长度为len=r-l+1，并且将此len对2取对数，则查询的时候只需要查询dp[l][k]和dp[r-+1][k]中的最大值即可，时间负载度为O(nlogn)

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e5+7;
int dp[N][20];
int a[N];
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
    }
    for(int j=0;j<18;j++){//dp
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++){
        	if(!j){
        		dp[i][j]=a[i];//长度为1时，就是a[i]
			}
            else dp[i][j]=max(dp[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
    }
    int m;
    cin>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++){//求最值
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        int len=y-x+1;
        int k=log(len)/log(2);
        cout<<max(dp[x][k],dp[y-(1<<k)+1][k])<<endl;;
    }
    return 0;
}