[数据结构与算法] 卡尔曼滤波 KF | 扩展卡尔曼滤波 EKF （思路流程和计算公式）

开发: C++知识库 Java知识库 JavaScript Python PHP知识库人工智能区块链大数据移动开发嵌入式开发工具数据结构与算法开发测试游戏开发网络协议系统运维
教程: HTML教程 CSS教程 JavaScript教程 Go语言教程 JQuery教程 VUE教程 VUE3教程 Bootstrap教程 SQL数据库教程 C语言教程 C++教程 Java教程 Python教程 Python3教程 C#教程
数码: 电脑笔记本显卡显示器固态硬盘硬盘耳机手机 iphone vivo oppo 小米华为单反装机图拉丁

-> 数据结构与算法 -> 卡尔曼滤波 KF | 扩展卡尔曼滤波 EKF （思路流程和计算公式） -> 正文阅读

[数据结构与算法]卡尔曼滤波 KF | 扩展卡尔曼滤波 EKF （思路流程和计算公式）

前言

本文分析卡尔曼滤波和扩展卡尔曼滤波，包括：思路流程、计算公式、简单案例等。滤波算法，在很多场景都有应用，感觉理解其思路和计算过程比较重要。

一、卡尔曼滤波

卡尔曼滤波思想由 kalman于 1960 年提出，该方法：

假设状态噪声与观测噪声符合高斯分布；

通过观测数据 对 状态量 进行最优估计。

其实质是计算最大后验概率问题，只能应用于线性系统。

1.1 KF计算公式

卡尔曼滤波法的核心问题是：如何建立滤波所需的状态方程和观测方程。在实际工作过程中，卡尔曼滤波法将为系统提供最优估计，其前提是系统应具备线性模型，使用卡尔曼滤波法可以简化计算量，并且节数据存储。

在定义系统的状态方程和观测方程分别如下：

第一条公式：定义 k-1 时刻的状态为 $x_{k-1}$ ?，其对应的协方差为 $\hat{P}_{k-1}$ 。k时刻（当前时刻）的状态为 $x_{k}$ ；思路：先用上一时刻的状态，来预估当前时刻的状态 $x_{k}$ 。?

第二条公式：定义 $z_{k}$ 为当前时刻的观测值。思路：通过预估当前时刻的状态 $x_{k}$ ?和观测变量 $v$ ，来计算观察值

1.2 KF迭代过程

?（1）预测：

?（2）更新：

首先更新卡尔曼增益 K：

?然后基于卡尔曼增益 K再更新?更新后验概率分布（即：状态值、协方差）

1.3 KF使用说明

卡尔曼滤波仅适用于线性高斯系统，目前大多数情况下机器人所涉及的状态估计是非线性的，卡尔曼滤波的结果并不可靠。

针对卡尔曼滤波的缺陷，学者们提出了许多改进方法，如扩展卡尔曼滤波（EKF）、无损卡尔曼滤波（UKF）、压缩扩展卡尔曼滤波（CEKF）……。

二、卡尔曼滤波案例——多目标跟踪

多目标跟踪算法的经典算法DeepSort，它是一个两阶段的算法，达到实时跟踪效果，曾被应用于工业开发。

核心思想：使用递归的卡尔曼滤波和逐帧的匈牙利数据关联。

?假定跟踪场景是定义在 8 维状态空间（u, v, γ, h, ?, ?, γ?, ?）中，边框中心（u, v），宽高比 γ，高度 h 和和它们各自在图像坐标系中的速度。

这里依旧使用的是匀速运动模型，并把（u，v，γ，h）作为对象状态的直接观测量。

在目标跟踪中，需要估计目标的以下两个状态：

?均值(Mean)：包含目标的位置和速度信息，由 8 维向量（u, v, γ, h, ?, ?, γ?, ?）表示，其中每个速度值初始化为 0。均值 Mean 可以通过观测矩阵 H 投影到测量空间输出（u，v，γ，h）。

?协方差(Covariance)：表示估计状态的不确定性，由 8x8 的对角矩阵表示，矩阵中数字越大则表明不确定性越大。

2.1?卡尔曼滤波器——预测阶段

?step1：首先利用上一时刻 k-1 的后验估计值，通过状态转移矩阵 F 变换，得到当前时刻 k 的先验估计状态

其中，状态转移矩阵 F如下：

??step2：然后使用上一时刻 k-1 的后验估计协方差来计算当前时刻 k 的先验估计协方差

通过上一时刻的后验估计均值和方差 估计?当前时刻的先验估计均值x和协方差P

实现代码如下：

def predict(self, mean, covariance):
    # mean, covariance 相当于上一时刻的后验估计均值和协方差
    
    std_pos = [
        self._std_weight_position * mean[3],
        self._std_weight_position * mean[3],
        1e-2,
        self._std_weight_position * mean[3]]
    std_vel = [
        self._std_weight_velocity * mean[3],
        self._std_weight_velocity * mean[3],
        1e-5,
        self._std_weight_velocity * mean[3]]

    # 初始化噪声矩阵 Q
    motion_cov = np.diag(np.square(np.r_[std_pos, std_vel]))

    # x' = Fx
    mean = np.dot(self._motion_mat, mean)

    # P' = FPF^T + Q
    covariance = np.linalg.multi_dot((
        self._motion_mat, covariance, self._motion_mat.T)) + motion_cov
    
    # 返回当前时刻的先验估计均值 x 和协方差 P
    return mean, covariance

2.2?卡尔曼滤波器——更新阶段

step1：首先利用先验估计协方差矩阵 P 和观测矩阵 H 以及测量状态协方差矩阵 R 计算出卡尔曼增益矩阵 K

step2：然后将卡尔曼滤波器的先验估计值 x 通过观测矩阵 H 投影到测量空间，并计算出与测量值 z 的残差 y

step3：将卡尔曼滤波器的预测值和测量值按照卡尔曼增益的比例相融合，得到后验估计值 x

step4：计算出卡尔曼滤波器的后验估计协方差

?卡尔曼滤波器更新阶段，代码实现：

def update(self, mean, covariance, measurement):

    # 将先验估计的均值和协方差映射到检测空间，得到 Hx' 和 HP'
    projected_mean, projected_cov = self.project(mean, covariance)

    chol_factor, lower = scipy.linalg.cho_factor(
        projected_cov, lower=True, check_finite=False)

    # 计算卡尔曼增益 K
    kalman_gain = scipy.linalg.cho_solve(
        (chol_factor, lower), np.dot(covariance, self._update_mat.T).T,
        check_finite=False).T

    # y = z - Hx'
    innovation = measurement - projected_mean

    # x = x' + Ky
    new_mean = mean + np.dot(innovation, kalman_gain.T)

    # P = (I - KH)P'
    new_covariance = covariance - np.linalg.multi_dot((
        kalman_gain, projected_cov, kalman_gain.T))

    # 返回当前时刻的后验估计均值 x 和协方差 P
    return new_mean, new_covariance

总结一下：

?在目标跟踪中，需要估计目标的以下两个状态：

?协方差(Covariance)：表示估计状态的不确定性，由 8x8 的对角矩阵表示，矩阵中数字越大则表明不确定性越大。

predict 阶段和 update 阶段都是为了计算出卡尔曼滤波的估计均值 x?和协方差 P，不同的是前者是基于上一历史状态做出的先验估计，而后者则是融合了测量值信息并作出校正的后验估计。

详细参考：多目标跟踪算法 | DeepSort_一颗小树x的博客-CSDN博客_deepsort