往期回顾

【主线】

【补充说明】

前言

在本文中，将推导三种方式来表达任意旋转，其中每种方式仅需三个独立变量：欧拉角表示法、姿态角表示法（滚动-俯仰-偏航）及四元数表示法（转轴/角度）。

以下是本篇文章正文内容，包含对欧拉角表示法、滚动-俯仰-偏航表示法及转轴/角度表示法定义的理解和相关代码的分步解析。

正文

一、欧拉角（Euler-angle）表示法

1. 定义

表示旋转矩阵的一种常用方法是使用欧拉角，其中有三个独立变量。考虑固定坐标系 $o_0x_0y_0z_0$ ，以及旋转后的坐标系 $o_1x_1y_1z_1$ 。
我们可以使用三个欧拉角（ $\phi,\theta,\psi$ ）来表示坐标系 $o_1x_1y_1z_1$ 相对于坐标系 $o_0x_0y_0z_0$ 的姿态，它们通过下列三个连续旋转得到。首先，绕当前 $z$ 轴旋转角度 $\phi$ 。然后，绕当前 $y$ 轴旋转角度 $\theta$ 。最后，绕当前 $z$ 轴旋转角度 $\psi$ 。
注意！这里的旋转均是绕旋转后的坐标系来进行旋转
根据上述描述的旋转，列出以下旋转的对应矩阵。
$R_{z,\phi}= \left[ \begin{matrix} cos\phi& -sin\phi & 0 \\ sin\phi & cos\phi & 0\\ 0 & 0& 1\\ \end{matrix} \right] \\$ $R_{y,\theta}= \left[ \begin{matrix} cos\theta & 0 & sin\theta \\ 0 & 1& 0\\ -sin\theta & 0& cos\theta \\ \end{matrix} \right] \\$ $R_{z,\psi}= \left[ \begin{matrix} cos\psi& -sin\psi & 0 \\ sin\psi & cos\psi & 0\\ 0 & 0& 1\\ \end{matrix} \right] \\$ 通过上述的矩阵按右乘的顺序来进行乘积，得到旋转变换后的旋转矩阵为： $R_{ZYZ}=R_{z,\phi}R_{y,\theta}R_{z,\psi}= \left[ \begin{matrix} cos\phi*cos\psi*cos\theta - sin\phi*sin\psi& - cos\psi*sin\phi - cos\phi*cos\theta*sin\psi& cos\phi*sin\theta \\ cos\phi*sin\psi + cos\psi*cos\theta*sin\phi& cos\phi*cos\psi - cos\theta*sin\phi*sin\psi& sin\phi*sin\theta \\ -cos\psi*sin\theta&sin\psi*sin\theta&cos\theta \\ \end{matrix} \right] \\$
方程中的矩阵 $R_{ZYZ}$ 被称为 $Z Y Z$ 欧拉角变换。

2. 代码解析（含实例）

代码如下：

syms phi theta psi
R1 = rotz(phi)*roty(theta)*rotz(psi);

由于需要使用 $t r p l o t$ 函数来将旋转可视化，因此在这里设欧拉角 $\phi\theta\psi$ 的角度均为 $p i / 6$ 。
$R_0$ 为参考系矩阵， $R_1$ 以 $R_0$ 为参考系矩阵，做 $R_{z,\pi/6}R_{y,\pi/6}R_{z,\pi/6}$ 的旋转。

syms phi theta psi
R0 = rotz(0);
R1 = rotz(pi/6)*roty(pi/6)*rotz(pi/6);
trplot(R0,'color','r','frame','0')
hold on
trplot(R1,'color','b','frame','1')

得到结果如下：
Alt

二、姿态角（RPY）表示法

滚动（roll）-俯仰（pitch）-偏航（yaw）表示法

1. 定义

旋转矩阵 $R$ 也可以被描述为按特定次序进行的一系列关于主坐标轴 $x_0、y_0和z_0$ 轴旋转的产物。这些旋转决定了滚动（roll）、俯仰（pitch）、偏航（yaw） 角度，在这里我们将定义以下规则。

绕 $z_0$ 轴旋转的 $\phi$ 角度的动作称为滚动（roll）
绕 $y_0$ 轴旋转的 $\theta$ 角度的动作称为俯仰（pitch）
绕 $x_0$ 轴旋转的 $\psi$ 角度的动作称为偏航（yaw））

我们指定旋转按照 $x ? y ? z$ 的顺序进行，换言之，首先绕 $x_0$ 轴旋转角度 $\psi$ ，然后绕 $y_0$ 轴旋转角度 $\theta$ 。最后，绕 $z_0$ 轴旋转角度 $\phi$ 。
注意！这里的旋转均是绕固定坐标系 $o_0x_0y_0z_0$ 来进行旋转
根据上述描述的旋转，列出以下旋转的对应矩阵。
$R_{z,\phi}= \left[ \begin{matrix} cos\phi& -sin\phi & 0 \\ sin\phi & cos\phi & 0\\ 0 & 0& 1\\ \end{matrix} \right] \\$ $R_{y,\theta}= \left[ \begin{matrix} cos\theta & 0 & sin\theta \\ 0 & 1& 0\\ -sin\theta & 0& cos\theta \\ \end{matrix} \right] \\$ $R_{x,\psi}= \left[ \begin{matrix} 1& 0 & 0 \\ 0 & cos\psi & -sin\psi\\ 0 & sin\psi& cos\psi\\ \end{matrix} \right] \\$ 通过上述的矩阵按左乘的顺序来进行乘积，得到旋转变换后的旋转矩阵为： $R=R_{z,\phi}R_{y,\theta}R_{x,\psi}= \left[ \begin{matrix} cos\phi*cos\theta& cos\phi*sin\psi*sin\theta - cos\psi*sin\phi& sin\phi*sin\psi + cos\phi*cos\psi*sin\theta \\ cos\theta*sin\phi& cos\phi*cos\psi + sin\phi*sin\psi*sin\theta& cos\psi*sin\phi*sin\theta - cos\phi*sin\psi \\ -sin\theta&cos\theta*sin\psi&cos\psi*cos\theta \\ \end{matrix} \right] \\$

2. 代码解析（含实例）

代码如下：

syms phi theta psi
R2 = rotz(phi)*roty(theta)*rotx(psi);

三、四元数（axis/angle）表示法（未完待续）

转轴/角度（axis/angle）表示法

1. 定义

旋转并不总是关于主坐标轴而进行的。我们通常感兴趣的是关于空间中某任意轴线的旋转，这不仅提供了一种描述旋转的简便方法，并且提供了对于旋转矩阵的另一种参数化方法。
令 $k=[k_x，k_y，k_z]^{T}$ 表示坐标系 $o_0x_0y_0z_0$ 内的一个单位向量，它定义了一个转轴，在此推导旋转矩阵 $R_{k,\theta}$ 来表示关于次轴线的转角为 $\theta$ 的旋转。