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[数据结构与算法]CF 780 F2. Promising String (hard version)

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题外话:本次考试基本都是数据结构题目。博主感觉做起来很顺......当然WA是不可避免的......

题目大意:一个字符串只包含+ 和 -两种字符,满足要求的子串或者是+和-数量相同,如+-,++--。或者是-号与+号的数量差为3的倍数,因为两个-可以升级成promising一个+。

这样问题就是求某个子串,其中-号数量减去+号数量是3的倍数。

解题思路:我们把+号看成-1,减号看成1。这样问题就变成求一个序列中有多少个子段,其“子段和大于等于0且为3的倍数”。

本题目还有个F1 (easy)版本,长度小于3000,可以双循环暴力枚举子段[i,j],用前缀和预处理[i,j]这一段的结果,判断是否满足条件,复杂度O(n^2)。

本题解法:如果一个子段右端点是i,那么如何找到满足条件的左端点,根据前缀和的思想距离,例如sum[i]=8,那么只要左端点前结果是8,5,2-1,-4.....,sum[i]减去这些值结果一定是3的倍数,这些值的特点是对3求余均为2。插播一个小知识,负数求余直接%结果是错的哦,如果解决请参看下方代码。因此当处理到第i个字符时,如果此时sum[i]=X,那么i左侧有多少个位置,其前缀和<=X,同时与X对3同余,这些位置都能和i组成满足条件的字段。

这样为题就转换成求sum[i]左边有多少个比它小且同余的sum[?]数量。由于递推过程中,不同数组的数量也在不断变化,这种可变的区间和问题可用树状数组或线段树解决。至于如何处理同余,因为对3求余结果只有3种可能,我这里开了3个树状数组,分别存储余数为0,1,2的对应数据。根据余数到对应树状数组求和。

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
int t,n,sum[3][800005];
char s[200005];
int lowbit(int x)/**< lowbit的作用请草稿纸模拟 */
{
    return x&(-x);
}
void update(int pos,int P) /**< 树状数组模板 */
{
    for(; pos<=n+n; pos+=lowbit(pos))
        sum[P][pos]++;
}
int  getsum(int pos,int P)
{
    int s=0;
    for(;pos>0;pos-=lowbit(pos))
        s+=sum[P][pos];
    return s;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);
    int i,j;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        int  cnt=0;ll ans=0;
        cin>>n>>s+1;
        for(i=0;i<=4*n;i++)/**< 树状数组初始化 */
            sum[0][i]=sum[1][i]=sum[2][i]=0;
        update(0+n,0);/**< 这个处理区间[1...i]满足条件的情况 */
        for(i=1; i<=n; i++)
        {
            cnt=cnt+(s[i]=='+'?-1:1);
            ans+=getsum(cnt+n+1,(cnt%3+3)%3);/**< 找到比cnt小的数字个数 */
            update(cnt+n+1,(cnt%3+3)%3);/**< 把数据存到树状数组,因为可能是负数,所以加一个偏移量 */
            /**< 切记不能出现0,不然死循环,我开始写的cnt+n,连挂几次 */
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

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加:2022-04-04 12:36:03  更:2022-04-04 12:39:59 
 
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