[数据结构与算法]区域和检索 - 数组可修改

一、区域和检索 - 数组可修改

1.1、题设要求

给你一个数组 nums ，请你完成两类查询。

1. 其中一类查询要求更新数组 nums 下标对应的值；
2. 另一类查询要求返回数组 nums 中索引 left 和索引 right 之间（ 包含 ）的nums元素的和 ，其中 left <= right

实现 NumArray 类：

1. NumArray(int[] nums) 用整数数组 nums 初始化对象；
2. void update(int index, int val) 将 nums[index] 的值 更新 为 val；
3. int sumRange(int left, int right) 返回数组 nums 中索引 left 和索引 right 之间（ 包含 ）的nums元素的和 （即，nums[left] + nums[left + 1], …, nums[right]）。

示例 1：
输入：
["NumArray", "sumRange", "update", "sumRange"]
[[[1, 3, 5]], [0, 2], [1, 2], [0, 2]]
输出：
[null, 9, null, 8]

解释：
NumArray numArray = new NumArray([1, 3, 5]);
numArray.sumRange(0, 2); // 返回 1 + 3 + 5 = 9
numArray.update(1, 2);   // nums = [1,2,5]
numArray.sumRange(0, 2); // 返回 1 + 2 + 5 = 8

提示：
1 <= nums.length <= 3 * 104
-100 <= nums[i] <= 100
0 <= index < nums.length
-100 <= val <= 100
0 <= left <= right < nums.length
调用 pdate 和 sumRange 方法次数不大于 3 * 104 

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/range-sum-query-mutable

1.2、lowbit()操作

??要先搞这个算法，就要先搞懂树状数组是什么东西。

??想要了解树状数组，有个前置知识是必须知道的，那就是**lowbit()**运算。何为lowbit()运算呢，它的概念性理解就是非负整数在二进制表示下最低位及其后面的0构成的数值，简单来讲就是lowbit(n)中的n与其负数（补码（取反加1））的按位与。

//计算树状数组中的lowbit(x)的值
int lowbit(int x){
    return x & -x;
}

1.3、思想与实现

c[x]是[x-lowbit(x)+1,x]的求和，现在我们画出下面序列的图。

C[x]的父亲节点是C[x+lowbit(x)]

1.4、query方法与add方法

1.4.1、query方法（区间查询）

C[x]进行更加或增加，只需修改并改变祖先节点，将 x += lowbit(x) 计算出来，就可以得到父节点的下标。

//树状数组中的query方法
int query(int x){
    int ans = 0;
    //查询tree[x]节点的前缀
    for(int i = x;i > 0;i -= lowbit(i))
        //计算tree[x]节点的前缀和
        ans += tree[i];
    return ans;
}

1.4.2、add方法（单点修改）

查询C[x]节点的前缀和，从该节点向座上找到上一个节点，将 x -= lowbit(x) 计算出来，就可以得到上一个节点的下标。

//树状数组中的add方法
void add(int x,int y){
    //查询tree[x]节点的祖先节点
    for(int i = x;i <= n;i +=lowbit(i))
        //将tree[x]节点的祖先节点进行更改
        tree[i] += y;
}

1.5、解题思路

因为题目要求实现更新nuns在某个位置的值，因此我们保存原始的nums数组。

1. 构造函数：树状数组初始对应一个零序列，因此我们遍历nums数组，调用add函数来更新树状数组。
2. update 函数：获取nums在index的增加值，调用add函数更新树状数组，并更新 nums[index] = val。
3. sumRange函数：区间和[left，right]可以转化为两个前缀和之差，调用树状数组的 prefixSum函数获取前 right + 1 个元素的前缀和sum1和前left个元素的前缀和sum2，返回sum1 - sum2。

1.6、算法

class NumArray {
    //定义一个树状数组
    int [] tree;
    int [] sum;
    int n;

    //计算树状数组中的lowbit(x)的值
    int lowbit(int x){
        return x & -x;
    }

    //树状数组中的query方法
    int query(int x){
        int ans = 0;
        //查询tree[x]节点的前缀
        for(int i = x;i > 0;i -= lowbit(i))
            //计算tree[x]节点的前缀和
            ans += tree[i];
        return ans;
    }

    //树状数组中的add方法
    void add(int x,int y){
        //查询tree[x]节点的祖先节点
        for(int i = x;i <= n;i +=lowbit(i))
            //将tree[x]节点的祖先节点进行更改
            tree[i] += y;
    }

    //用整数数组 nums 初始化对象
    public NumArray(int[] nums) {
        sum = nums;
        n = sum.length;
        tree = new int[n+1];
        for(int i = 0;i<n;i++)
            add(i + 1,sum[i]);
    }
    
    //将 nums[index] 的值 更新 为 val
    public void update(int index, int val) {
        add(index + 1,val-sum[index]);
        sum[index] = val;
    }
    
    //返回数组 nums 中索引 left 和索引 right 之间（ 包含 ）的nums元素的和
    public int sumRange(int left, int right) {
        return query(right + 1) - query(left);
    }
}