??本文章是从其他地方总结一些对自己有用的理论，全文可在底部参考文章中查阅。
??侵删，不断学习不断更新～
??我们知道，矩阵乘法对应了一个变换，是把任意一个向量变成另一个方向或长度都大多不同的新向量。在这个变换的过程中，原向量主要发生旋转、伸缩的变化。如果矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换，不对这些向量产生旋转的效果，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩的比例就是特征值。
??实际上，上述的一段话既讲了矩阵变换特征值及特征向量的几何意义（图形变换）也讲了其物理含义。物理的含义就是运动的图景：特征向量在一个矩阵的作用下作伸缩运动，伸缩的幅度由特征值确定。特征值大于1，所有属于此特征值的特征向量身形暴长；特征值大于0小于1，特征向量身形猛缩；特征值小于0，特征向量缩过了界，反方向到0点那边去了。
??关于特征值和特征向量，这里请注意两个亮点。这两个亮点一个是线性不变量的含义，二个是振动的谱含义。
??????????????????????????????????——《线性代数的几何意义》
??如果存在某个或某些向量在A作用之后，它只是伸长或者缩短，其位置仍停留在其原来张成的直线上，那么称之为A的特征向量，伸长或者缩短的倍数称为对应特征向量的特征值。公式表达为：
A
v
￣
=
λ
v
￣
，
∣
A
?
λ
I
∣
=
0
(1)
A\overline v=λ\overline v ，\quad|A?λI|=0 \tag{1}
Av=λv，∣A?λI∣=0(1)
??
N
N
N 个特征向量就是
N
N
N 个标准正交基，而特征值的模则代表矩阵在每个基上的投影长度。
??在查找相关资料时，知乎马同学大佬讲解的非常详细，这里再总结一下！特征值和特征向量，称为一个特征空间，如果反复乘一个矩阵，该向量会越贴合最大值所对应的特征向量！引用马同学知乎中的一张图。
[
x
x
+
1
y
x
+
1
]
=
A
[
x
x
y
x
]
\begin{bmatrix} x_{x+1} \\ y_{x+1}\\ \end{bmatrix} =A \begin{bmatrix} x_{x} \\ y_{x}\\ \end{bmatrix}
[xx+1?yx+1??]=A[xx?yx??]
??该向量会沿着特征值最大的特征空间的方向！一个很重要的性质！有大佬上传了视频到YouKu上面。
??如果A为样本的协方差矩阵，特征值 λ \lambda λ 的大小就反映了变换后在特征向量方向上变换的幅度，幅度越大，说明这个方向上的元素差异也越大，换句话说这个方向上的元素更分散。
??关于矩阵分解，就是为了得到特征值和特征向量，对于矩阵
A
A
A可以对角化的话，可以通过相似矩阵进行下面这样的特征值分解：
A
=
P
∧
P
?
1
A = P\wedge P^{-1}
A=P∧P?1
其中
∧
\wedge
∧为对角阵，
P
P
P的列向量是单位化的特征向量。特征值就是拉伸的比例，特征向量确定了拉伸的方向。
??特征向量正交，这样变换后才能保证变换最大的方向在基方向。如果特征向量不正交就有可能不是变化最大的方向。
??矩阵特征值是对特征向量进行伸缩和旋转程度的度量，实数是只进行伸缩，虚数是只进行旋转，复数就是有伸缩有旋转。其实最重要的是特征向量，从它的定义可以看出来，特征向量是在矩阵变换下只进行“规则”变换的向量，这个“规则”就是特征值。
1）
A
A
A 和
A
T
A^{T}
AT 有相同的特征值，但是特征向量不一定相同
证明：
∣
λ
E
?
A
T
∣
=
∣
λ
E
T
?
A
T
∣
=
∣
(
λ
E
?
A
)
T
∣
=
∣
λ
E
?
A
∣
=
0
|\lambda E-A^{T}| = |\lambda E^{T}-A^{T}|=|(\lambda E - A)^{T}|=|\lambda E-A|=0
∣λE?AT∣=∣λET?AT∣=∣(λE?A)T∣=∣λE?A∣=0
2）若
∑
∣
a
i
j
<
1
,
j
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
∣
\sum|a_{ij}<1,j=1,2,...,n| \quad
∑∣aij?<1,j=1,2,...,n∣ 且
∑
∣
a
i
j
?
∣
<
1
,
j
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
,
∑∣a_{ij}?∣<1,j=1,2,...,n,
∑∣aij??∣<1,j=1,2,...,n, 则
∣
λ
k
∣
<
1
|\lambda_{k}| < 1
∣λk?∣<1
3）若方阵的n个特征值为
λ
1
,
λ
2
,
.
.
.
,
λ
n
?
\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n} ?
λ1?,λ2?,...,λn??，则有①
∑
i
=
1
n
λ
i
=
∑
i
=
1
n
a
i
i
\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i} =\sum_{i=1}^{n}a_{ii}
∑i=1n?λi?=∑i=1n?aii??，也就是所有的特征值之和就为矩阵对角线元素之和；②
λ
1
,
λ
2
,
.
.
.
,
λ
n
=
∣
A
∣
\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n}=|A|
λ1?,λ2?,...,λn?=∣A∣
4）互不相同的特征值
λ
1
,
λ
2
,
.
.
.
,
λ
n
\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n}
λ1?,λ2?,...,λn??对应的特征向量
α
1
,
α
2
,
.
.
.
,
α
n
\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n}
α1?,α2?,...,αn??线性无关
5）对4）进行补充，如果每个特征向量有多对特征值，那么这些特征向量也是线性无关的
6）
k
k
k 重特征根，对应的线性无关的特征向量的个数小于等于
k
k
k
其它性质：
1）
k
λ
k\lambda
kλ是
k
A
kA
kA 的特征值
2）
λ
2
\lambda^{2}
λ2 是
A
2
A^{2}
A2的特征值，
λ
k
\lambda^{k}
λk 是
A
k
A^{k}
Ak 的特征值
3）
1
λ
\frac{1}{\lambda}
λ1? ?是
A
?
1
A^{-1}
A?1 的特征值；
1
λ
∣
A
∣
\frac{1}{\lambda}|A|
λ1?∣A∣ 是
A
?
A^?
A? 的特征值
参考文章：
1.特征值和特征向量
2.特征值（eigenvalue）特征向量（eigenvector）特征值分解（eigenvalue decomposition）
3.如何理解矩阵特征值？
4.【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质