引言
看论文的时候看到给出了螺旋线的曲率半径求解公式：
便想着这个公式是怎么求出来的。
上述螺旋线我们知道h(转一圈，又称为导程)，螺旋的半径是r。
我们可以用参数方程来描述螺旋线：
{ x = r c o s θ y = r s i n θ z = h 2 π θ \left\{\begin{aligned} x&=rcos\theta \\ y&=rsin\theta \\ z&=\frac{h}{2\pi}\theta \end{aligned}\right. ??????????xyz?=rcosθ=rsinθ=2πh?θ?
为什么z的表达式中系数是
h
2
π
\frac{h}{2\pi}
2πh?呢？想一下，
θ
\theta
θ角从0转到
2
π
2\pi
2π，这样整个旋转了一圈，把螺旋线拉开截面方向就从0到
2
π
r
2\pi r
2πr，纵向方向从0到h，两个都是线性增加，很明显
{
z
(
0
)
=
0
z
(
2
π
)
=
h
z
(
θ
)
=
k
θ
\left\{\begin{aligned} z(0)&=0 \\ z(2\pi)&=h \\ z(\theta)&=k\theta \end{aligned}\right.
??????z(0)z(2π)z(θ)?=0=h=kθ?
则有
k = z ( 2 π ) ? z ( 0 ) 2 π ? 0 = h 2 π k=\frac{z(2\pi)-z(0)}{2\pi-0}=\frac{h}{2\pi} k=2π?0z(2π)?z(0)?=2πh?
这就解释了z的表达式中系数k是
h
2
π
\frac{h}{2\pi}
2πh?。
写出了参数方程，参考维基百科[1]参数方程的曲率公式（曲率半径是曲率的倒数）：
对于一个以参数化形式给出的空间曲线 r ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) ? r ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) ? {\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)=(x(t),y(t),z(t))\,}{\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)=(x(t),y(t),z(t))\,} r(t)=(x(t),y(t),z(t))r(t)=(x(t),y(t),z(t))其曲率为
列出需要的表达式：
{
x
′
(
θ
)
=
?
r
s
i
n
θ
x
′
′
(
θ
)
=
?
r
c
o
s
θ
y
′
(
θ
)
=
r
c
o
s
θ
y
′
′
(
θ
)
=
?
r
s
i
n
θ
z
′
(
θ
)
=
h
2
π
z
′
′
(
θ
)
=
0
\left\{\begin{aligned} x'(\theta)=&-rsin\theta \\ x''(\theta)=&-rcos\theta\\ y'(\theta)=&rcos\theta \\ y''(\theta)=&-rsin\theta\\ z'(\theta)=&\frac{h}{2\pi}\\ z''(\theta)=&0 \end{aligned}\right.
????????????????????????x′(θ)=x′′(θ)=y′(θ)=y′′(θ)=z′(θ)=z′′(θ)=??rsinθ?rcosθrcosθ?rsinθ2πh?0?
代入计算
κ
=
(
z
′
′
y
′
?
y
′
′
z
′
)
2
+
(
x
′
′
z
′
?
z
′
′
x
′
)
2
+
(
y
′
′
x
′
?
x
′
′
y
′
)
2
(
x
′
2
+
y
′
2
+
z
′
2
)
3
2
=
[
0
?
r
c
o
s
θ
?
(
?
r
s
i
n
θ
)
?
h
2
π
]
2
+
[
?
r
c
o
s
θ
?
h
2
π
?
0
?
(
?
r
s
i
n
θ
)
]
2
+
[
(
?
r
s
i
n
θ
)
?
(
?
r
s
i
n
θ
)
?
(
?
r
c
o
s
θ
)
?
r
c
o
s
θ
]
2
[
(
?
r
s
i
n
θ
)
2
+
(
r
c
o
s
θ
)
2
+
(
h
2
π
)
2
]
3
2
=
(
h
2
π
)
2
r
2
+
r
4
(
(
h
2
π
)
2
+
r
2
)
3
2
=
r
(
h
2
π
)
2
+
r
2
(
(
h
2
π
)
2
+
r
2
)
3
2
=
r
(
h
2
π
)
2
+
r
2
\begin{aligned} \kappa&=\frac{\sqrt{(z''y'-y''z')^2+(x''z'-z''x')^2+(y''x'-x''y')^2}}{(x'^2+y'^2+z'^2)^{\frac{3}{2}}}\\ &=\frac{\sqrt{[0\cdot rcos\theta-(-rsin\theta)\cdot \frac{h}{2\pi}]^2+[-rcos\theta\cdot \frac{h}{2\pi}-0\cdot(-rsin\theta)]^2+[(-rsin\theta)\cdot(-rsin\theta)-(-rcos\theta)\cdot rcos\theta]^2}}{[(-rsin\theta)^2+(rcos\theta)^2+(\frac{h}{2\pi})^2]^{\frac{3}{2}}} \\&=\frac{\sqrt{(\frac{h}{2\pi})^2r^2+r^4}}{((\frac{h}{2\pi})^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}\\&=\frac{r\sqrt{(\frac{h}{2\pi})^2+r^2}}{((\frac{h}{2\pi})^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}\\&=\frac{r}{(\frac{h}{2\pi})^2+r^2}\end{aligned}
κ?=(x′2+y′2+z′2)23?(z′′y′?y′′z′)2+(x′′z′?z′′x′)2+(y′′x′?x′′y′)2??=[(?rsinθ)2+(rcosθ)2+(2πh?)2]23?[0?rcosθ?(?rsinθ)?2πh?]2+[?rcosθ?2πh??0?(?rsinθ)]2+[(?rsinθ)?(?rsinθ)?(?rcosθ)?rcosθ]2??=((2πh?)2+r2)23?(2πh?)2r2+r4??=((2πh?)2+r2)23?r(2πh?)2+r2??=(2πh?)2+r2r??
曲率求倒数，所以圆螺旋线曲率半径为
ρ = ( h 2 π ) 2 + r 2 r \rho=\frac{(\frac{h}{2\pi})^2+r^2}{r} ρ=r(2πh?)2+r2?
和论文所述一致
参考