1.时间复杂度

1.1时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。
即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{
 for (int j = 0; j < N ; ++ j)
 {
 ++count;
 }
}
 
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
 ++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
 ++count;
}
printf("%d\n", count);
}

我们可以算得 F(N)=N*N+2N+10
那我们时间复杂度是什么呢？
答案是：O(N^2)

为什么呢？
我们看这组数据：

N = 10 F(N) = 130
N = 100 F(N) = 10210
N = 1000 F(N) = 1002010 函数表达式：F(N)=N*N+2N+10

我们看数据是不是更和N^2有关系？

所以我们约定:实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。

什么是大O渐进表示法呢？

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：
N = 10 F(N) = 100
N = 100 F(N) = 10000
N = 1000 F(N) = 1000000
通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N）

总的来说：先写出函数表达式，然后找出最高阶，不算最高阶系数，如果表达式为常数最高阶就当作1即可！

1.2练习

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 int M = 10;
 while (M--)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

F(N)=2*N+10 所以时间复杂度为O(N)

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < M; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 for (int k = 0; k < N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

F(M+N)=M+N
这里因为有两个变量所以我们得讨论一下
如果M>>N(远远大于）F(M+N)=M+N 几乎等价于F(M)=M 所以时间复杂度为O(M)
如果N>>M(远远大于）F(M+N)=M+N 几乎等价于F(N)=N 所以时间复杂度为O(N)
如果M和N差不多大那时间复杂度就是O(M+N)

void Func4(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 100; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

F(N)=100 时间复杂度为O(1)

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }
}

冒泡排序的时间复杂度怎么算呢？？
F(N)=N-1 +N-2 +N-3 +…+1=(N-1+1)(N-1)/2
所以时间复杂度为O(N^2)

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
 assert(a);
 int begin = 0;
 int end = n-1;
 // [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
 while (begin <= end)
 {
 int mid = begin + ((end-begin)>>1);
 if (a[mid] < x)
 begin = mid+1;
 else if (a[mid] > x)
 end = mid-1;
 else
 return mid;
 }
 return -1;
}

二分查找
设次数为x则N/2/2/2/2/2…=1(x个2）相当于2^x=N 这x=logN
所以时间复杂度为N(logN)

long long Fac(size_t N)
{
 if(0 == N)
 return 1;
 
 return Fac(N-1)*N;
}

这个递归次数就是N次
所以就是O（N）

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
 if(N < 3)
 return 1;
 
 return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

这个画图的话就像一个残缺的二叉树一样，但是残缺的部分有限可以忽略不计
F(N)=1+2^1+ 2^2+ 2^3+… +2^(N-2)-X
X为缺失的部分
等比求和后可以发现时间复杂度为O(N^2)

1.实例1基本操作执行了2N+10次，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N)
2.实例2基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)
3.实例3基本操作执行了10次，通过推导大O阶方法，时间复杂度为 O(1)
4.实例4基本操作执行最好N次，最坏执行了(N*(N+1)/2次，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N^2)
5.实例5基本操作执行最好1次，最坏O(logN)次，时间复杂度为 O(logN) ps：logN在算法分析中表示是底数为2，对数为N。有些地方会写成lgN。（建议通过折纸查找的方式讲解logN是怎么计算出来的）
6. 实例6通过计算分析发现基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)。
7.实例7通过计算分析发现基本操作递归了2^N 次，时间复杂度为O(2^N)。（建议画图递归栈帧的二叉树
讲解）